Според теорията на риска размерът на плащането за конкретен застрахователен договор е произволна величина. Следователно размерът на плащанията за всички договори също ще бъде произволна стойност. Тоест, той може да приеме всяка стойност от нула до максимално възможната сума на плащанията, равна на общата застрахователна сума за всички договори.
За да осигури 100% гаранция на застрахователните плащания, застрахователят трябва да формира застрахователен фонд в размер на общата застрахователна сума. В този случай нетната премия за всеки договор ще бъде равна на застрахователната сума. Така, като се вземе предвид натоварването, притежателят на полицата ще трябва да плати повече, отколкото ще получи при настъпване на застрахователно събитие. Следователно, когато изчисляват застрахователните премии, застрахователите са принудени да приемат гаранция за безопасност под 100%. На практика стойността му варира от 85 до 99,9%.
Първоначалното неравенство за определяне на стойността на нетните премии е както следва:
вероятност (размер на плащанията< величина страхового фонда} ³ g,
където γ е количеството гаранции за сигурност.
Размерът на нетните премии се определя въз основа на необходимия размер на осигурителния фонд, който се формира за тяхна сметка.
Размерът на нетните премии отразява риска, който този договор крие за застрахователя. Количествено този риск се оценява чрез вероятния размер на плащането, като максималното възможно плащане по дефиниция е равно на застрахователната сума.
Очакваното изплащане и следователно нетната премия могат да бъдат изразени като:
Нетна премия = застрахователна сума * Нетен процент / 100,
Нетният процент (нетният процент) отразява степента на риск на застрахователя и се изразява или в% от застрахователната сума, или в рубли от 100 рубли от застрахователната сума. Два фактора влияят върху размера на нетната ставка:
Вероятността за настъпване на застрахователно събитие по този договор;
Очакваната тежест на застрахователното събитие, която се определя от съотношението на очакваното плащане за застрахователното събитие към застрахователната сума по договора.
Размерът на застрахователната сума се избира от притежателя на полицата. Неговата горна граница е стойността на застрахованото имущество.
Нетната премия представлява по-голямата част от брутната премия. Брутната премия може да се разглежда като произведение на застрахователната сума от застрахователната ставка или тарифната ставка. Тарифната ставка, която определя стойността премиум застраховкае наречен брутна ставкаи представлява плащане от 100 рубли от застрахователната сума или % от застрахователната сума:
Премиум застраховка= застрахователна сума * брутен процент / 100,
Брутната ставка се състои от нетната ставка и натоварването. Делът на товара в брутната ставка се обозначава с еи се изразява в% или единични фракции. Обща формулаизчисляването на брутната ставка е както следва:
е
Ако пропорцията на натоварването е изразена в %, тогава:
Брутен курс = Нетен процент / 1- f * 100
Тази формула за определяне на брутната ставка е обща за всички видове застраховки. Въпреки това методите за изчисляване на нетната ставка, включени в тази формула, се различават според вида на застраховката.
План за практически урок:
1. Състав и структура на тарифната ставка.
2. Общи принципи за изчисляване на нетни и брутни ставки.
Въпроси, обсъждани в практическия урок:
1. Цената на застрахователните услуги и фактори, влияещи върху нейната стойност.
2. Структура на застрахователната премия.
3. Методология за обосноваване на нетната рискова премия. Ниво на сигурност.
4. Методическа основа за изчисляване на бруто - ставки и брутни премии.
Брутна премия, или застрахователна премия, е сумата на застрахователните плащания, изплатени от притежателя на полицата на застрахователя (застрахователната организация) за определен период от цялата застрахователна сума. Брутната премия зависи от размера на застрахователната сума, степента на риска и периода, за който се извършва тази застрахователна премия. Този период може да не е същият като общия осигурителен стаж. Структурата на брутната премия отразява икономическия механизъм на застраховане.
В него могат да се разграничат два елемента: нетна премия,предназначени за застрахователни плащания съгласно условията на застрахователния договор, и натоварване, предназначени за покриване на разходите за правене на бизнес и реализиране на печалба от застрахователни операции (Фигура 10.1). Имайте предвид, че нетната премия, изчислена за единица от застрахователната сума, която по правило е равна на 100 рубли, има името „Нетна ставка“.
Ориз. 10.1. Структура на брутната премия
Съотношението на нетната премия към товара, в зависимост от вида и обема на застраховката, както и нивото на разходите за правене на бизнес, може да се различава. В момента това съотношение се променя към увеличаване на дела на натоварването до 15-20%, както е обичайно в световната практика. Тази тенденция се дължи главно на увеличаване на конструктивния елемент на натоварването - комисионна,което говори за нарастващото значение на работата на посредник в застраховането (агент, брокер), и до голяма степен отговаря на световната практика.
В общия случай нетната премия може да включва следните структурни елементи: рисков принос, рискова (гаранционна или стабилизираща) премия и акумулираща (спестовна) вноска (фиг. 10.2).
Ориз. 10.2. Възможна нетна премия структура
Рисков приноспредназначени да покрият риска за всички, т.е. използва се за застрахователни плащания при настъпване на застрахователно събитие. Той винаги присъства в структурата на нетната премия.
Премия за риск (гаранция или стабилизация).има за цел да компенсира евентуалното превишение на действителните плащания над изчислените, взето предвид под формата на рисков принос. Тази премия може да не е включена в структурата на нетната премия - всичко зависи от стратегията на управление, избрана от застрахователя. Ако целта му е да завладее застрахователния пазар за сметка на цени, по-ниски от тези на другите застрахователи, то този елемент (рискова премия) не се включва в структурата на нетната премия. Ако застрахователят желае да засили финансовата си стабилност, този елемент се включва в нетната премия.
Кумулативен (спестов) приносима за цел да натрупа изплатената сума при условията на дългосрочен договор за животозастраховане - ако осигуреното лице доживее до определена дата (с риск за оцеляване). Финансираната вноска трябва да бъде инвестирана, за да се генерира доход. Той е структурен елемент от нетната премия на дългосрочните договори за животозастраховане, например за застраховка за оцеляване, смесено животозастраховане, пенсионно осигуряване (в в такъв случайизползва се руската класификация на видовете застраховки).
Размерът на рисковия принос в нетната премия зависи от застрахователната сума и вероятността от застрахователно събитие. Размерът на рисковата премия зависи от приетата вероятност за превишаване на действителните плащания над изчислените. Колкото по-малка е определената вероятност за превишаване на действителните плащания над изчислените, толкова по-висок е размерът на рисковата премия. Съотношението между рисковата премия и рисковата премия за различните видове застраховки може да не е еднакво.
Размерът на натрупаната вноска зависи от приетото правило паричен оборот(обикновена или сложна лихва), сумата на застрахователната (натрупана) сума, платена с риск за оцеляване, нормата на дохода, обещана на притежателя на полицата и продължителността на договора (период на натрупване). За натрупващия вид застраховка съотношението на рисковите и натрупващите се вноски се определя от условията на договора.
Включването на рискови и натрупващи вноски в структурата на нетната премия се определя от вида на застраховката: условието за рисковата премия е практически включено във всички видове застраховки, тъй като осигурява покритие на риска, а условието за натрупване. вноските се включват само в дългосрочните договори за животозастраховане. Така че, с краткосрочна застраховка срещу злополука и болест, здравна осигуровкаили застраховка смърт, застраховка имущество и отговорност (рискови видове застраховки), структурата на нетната премия задължително включва рискова премия и в зависимост от избраната стратегия за управление на компанията, рисковата премия може да бъде включена или не.
При осигуряване на пенсии (дългосрочен вид животозастраховане) структурата на нетната премия включва капиталова вноска, която е предназначена за плащания на осигуреното лице с риск да оцелее до определена дата, например до датата на следващото плащане. Имайте предвид, че за дългосрочни договори за животозастраховане, които предвиждат както покритие на риска (риск от смърт и, може би, риск от злополука), така и натрупване на средства в случай на оцеляване. Така че при договори за смесено животозастраховане не е необходимо рисковата премия да се включва в нетната премия, тъй като ролята на рисковата (гаранционна) премия се изпълнява от натрупващата вноска.
Таблица 10.1 са представени възможни варианти за структурата на брутната премия за различните видове застраховки.
Елементите на нетната премия: рискова премия, рискова премия и натрупваща премия - служат като източници за формиране на специални застрахователни фондове - застрахователни резерви, предназначени за плащания при условията на застрахователен договор.
Таблица 10.1. Опции за структурата на брутните премии за различните видове застраховки
|
Временни характеристики на застрахователния договор |
Вид застрахователен договор |
Награда Бругто |
|||
|
Нетна премия |
|||||
|
Рисков принос |
Рискова премия |
Натрупващ принос |
|||
|
Дългосрочни застрахователни договори |
Животозастраховането |
||||
|
Краткосрочни застрахователни договори |
Застраховка за злополука и болест |
||||
|
Здравна осигуровка |
|||||
|
Застраховка на имущество |
|||||
|
Застраховка гражданска отговорност |
|||||
Забележка: “+” означава, че задължително се включва в структурата на брутната премия; „±“ означава, че този елемент може или не може да бъде включен в структурата на брутната премия.
Както вече беше отбелязано, натоварването е част от брутната премия, предназначена за покриване на разходите за правене на бизнес и реализиране на печалба от застрахователни операции (Фигура 10.3).
Първият конструктивен елемент на товара е бизнес разходи- се отнася до цената на застрахователните услуги, вторият елемент - печалба от застрахователни операции -това е планираната печалба на застрахователната организация от подобни операции.
Разходите за правене на бизнес се разделят на традиционенкоито са характерни за всеки тип бизнес, и специфичниизвършват именно в застрахователния бизнес. Специфичните видове разходи включват комисионни на агенти и брокери за посредническа дейност при разпространението на застрахователни продукти, разходи за извършване на превантивни (превантивни) мерки, разходи, свързани например с провеждане на първоначален преглед (при сключване на договор), както и експертиза, свързана с настъпване на застрахователен случай и др.
Ориз. 10.3. Структура на натоварването
Опит икономически развити странипоказва, че делът на разходите за превантивни мерки може да бъде 4-6% от брутната премия, а делът на комисионните може да бъде до 20% от брутната премия.
p-годишна смесена застраховка живот
Нетната премия се изчислява по формулата:
Пълна застраховка живот, отложена до тгодини
При този вид застраховка нетната премия се изчислява по формулата:
n-годишна временна застраховка живот, отложена от тгодини
Пълна застраховка живот с непрекъснато нарастваща полза
19. Изчисляване на нетни премии за пълна застраховка живот с изплащане на застрахователни обезщетения в края на последната година от живота.
ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА НЕТНИ НАГРАДИ ЗА БАЗОВ ДИСКРЕТ
ВИДОВЕ ЗАСТРАХОВКИ
Въз основа на дефиницията на отделни видове застраховки и концепцията за актюерска стойност могат да се получат следните формули за изчисляване на нетните премии:
1. Пълна застраховка живот със застрахователни обезщетения, изплатени в края на последната година от живота.
Нетната премия се изчислява като
е дискретен анализ на непрекъсната опростяваща функция.
20. Изчисляване на нетните премии за n-годишно временно и смесено животозастраховане с
изплащане на осигурителни обезщетения в края на последната година от живота.
П-лятна временна застраховка живот с изплащане на обезщетения в края на годината на смъртта
3. П-лятна смесена застраховка живот с изплащане на обезщетение в края на годината на смъртта
4. Пълна застраховка живот с изплащане на застрахователни обезщетения в края на последната година от живота, забавено с t години
5. Пълна застраховка "Живот" с ежегодно нарастващи обезщетения и изплащане на обезщетения в края на последната година от живота
След като обозначим, можем да запишем във формата
Ето една дискретна опростяваща функция.
21. Връзката между непрекъснати и дискретни видове животозастраховане.
Дискретна застраховка живот сумата е застрахованаплатима в края на годината на смъртта. Изчисленията могат да се извършват директно върху таблици за живот.
Чрез изчисляване на нетните премии за дискретно животозастраховане е възможно да се изчислят нетните премии за съответните видове непрекъсната застраховка. За да се свържат непрекъснатите и дискретните видове застраховки помежду си, е необходимо да се направят определени предположения относно закона за разпределение на времето на живот за частични възрасти.
Обикновено се приема, че този закон е единен. Известно е, че в този случай случайните величини са едновременно независими и имат равномерно разпределение на. Тогава можем да получим следните формули, свързващи нетните премии за съответните непрекъснати и дискретни видове застраховки:
Горните формули ви позволяват да изчислите еднократните нетни премии за непрекъснати видове застраховки чрез характеристиките,, които се изчисляват съвсем просто от данните, дадени в общите таблици за продължителност на живота.
22. .Анализ на обобщената претенция в модела за дългосрочно животозастраховане.
Нека в момента на времето Застрахователно дружествосключени договори за застраховка живот. Да обозначим чрез - премии и чрез - размера на застрахователното обезщетение, изплатено по договора в произволен момент от време. Нека подредим стойностите във възходящ ред:. Тогава в момента капиталът на дружеството може да се изчисли като
и дружеството няма да фалира, ако е изпълнено следното условие:
къде е съвременната цена на плащане по ия застрахователен договор. Вероятността за неразрушаване ще се изчисли по формулата:
която е подобна на съответната формула за краткосрочно животозастраховане. Тоест, изчисляването на вероятността за неразрушаване при дългосрочното застраховане се извършва по същия начин, както при краткосрочното застраховане с размера на загубите.
Тогава застрахователната такса ще изглежда така:
където е нетната премия по -тия договор, а е съответната застрахователна премия, която се изчислява подобно на краткосрочната застраховка живот.
В най-простия случай, когато застрахователната премия се раздели пропорционално на математическите очаквания, получаваме:
При по-сложни модели на дългосрочно застраховане не винаги е възможно да се изразят:
а) вероятността за неразрушаване под формата на проста формула от вида (32);
б) нетни премии и застрахователни премии във формата (34).
Нетна премия
Така е доказано, че нетната премия, която осигурява застрахователната рентабилност, трябва да бъде по-висока от рисковата премия, изчислена на базата на принципа на еквивалентност на задълженията на страните. Разликата между тях се нарича рискова премия, а съотношението на тази разлика към рисковата премия се нарича относителна рискова премия. Нека разгледаме процедурата за формиране на нетна премия при договори с разпределени щети.
В застраховането е обичайно да се работи със специална парична сума - единица от застрахователната сума (и), в зависимост от валутата на страната, например 1 s. = 100 рубли
Нека да разгледаме един пример. Индивидуалната претенция приема три стойности: 0; един; 4 e.w. с вероятности съответно 0,9965, 0,0030, 0,0005. Намерете нетна премия.
Средна стойност и вариация на индивидуално твърдение:
След това условията за осигуряване на 95% надеждност (вероятност за оцеляване) използване нормално приближениеполучаваме: използвайки рисковата премия и отчитайки броя на договорите; намерете нетна премия:
Тогава относителната маркировка е равна на:
Така че, рисковата премия е 0,0050; рисковата премия е 0,0017; нетната премия е 0,0067; брутната премия (ако) ще бъде: 0,0067 / 0,88 = 0,76, това ще надвиши рисковата премия с 1,5 пъти.
Анализ на хомогенен застрахователен портфейл с помощта на нормално приближение
Нека продължим да разглеждаме горния проблем (относно рисковата премия).
Нека напомним: необходимо е да се проучи процесът:
Събраните нетни премии дават възможност да изпълнят задълженията си за изплащане на обезщетения, ако броят на застрахователните събития не надвишава 110. За надеждност от 96% (ако е такава) е необходимо да можете да плащате за случаи до 117 включително . Имайте предвид, че 117-ият случай или ще се случи, или не, така че трябва да закръглите 116,6 до най-близкото по-високо цяло число. Необходимо е да се осигури възможност за изплащане на застрахователната сума в 117 случая. Реалната вероятност от разруха в този случай ще бъде:
Надеждността е малко по-висока от изискваната от Застрахователния надзор.
Ако пазарът е установил средна относителна рискова премия от 10%, то застрахователят не може произволно да я увеличи до 16,6% (или до 17%) поради конкуренция. Следователно, за да повиши своята надеждност, той е принуден или да инвестира средствата си (т.е. капитал) - да създаде първоначален резерв, или да прибегне до презастраховане.
Нека разгледаме първата възможност. Така че, застрахователят няма достатъчно средства, за да изплати 7 застрахователни събития, т.е. има нужда от капитал в размер на 7 застрахователни претенции. Например, ако застрахователната сума е 500, тогава капиталът, с който е гарантирана определената надеждност, е равен на и не
Анализираме втората възможност. Да предположим, че случаите от 111 до 117 включително се прехвърлят за презастраховане. Това означава, че ако броят на случаите надвишава 117, тогава презастрахователят заплаща посочените случаи, а възложителят възстановява всички следващи. Следователно ще използваме локалната теорема на Лаплас (тъй като размерът на плащанията е фиксиран) и ще намерим вероятностите:
Например,
Така се получават вероятностите: 0,0021; 0,0019; 0,0016; 0,0014; 0,0012; 0,0010; 0,0008. Вероятността ще трябва да се търси по интегралната теорема на Лаплас:
Тогава математическото очакване на плащанията на презастрахователя е:
Това е рисковата премия в презастрахователния договор.
Ако знаете относителната премия от презастрахователя, тогава можете да намерите нетната премия в този договор. Така например: (Около 2/3 от една застрахователна сума.) Следователно възложителят има алтернатива: или да запази резерв от 7 застрахователни суми, или безвъзвратно да изплати на презастрахователя 2/3 от една застрахователна сума. Ако възложителят може да инвестира своето временно налични средствапри лихва по-голяма от 0,654 / 7,0 = 9,4%, тогава презастраховането може да бъде платено за сметка на печалбите.
Ако застрахователят не разполага със собствени средства за резерва (или счита за целесъобразно да пусне средствата си в обращение), се сключва презастрахователен договор. Ще разпределим зоните на отговорност.
Когато застрахователят изплаща обезщетение от събраните нетни премии. В този случай отговорността се поделя между застрахователя и презастрахователя. Първият изплаща фиксиран брой възстановявания: а вторият плаща всичко останало:. И накрая, ако рискът не е обезпечен, това представлява бизнес риск на застрахователя. (Застрахователят смята, че повече от 117 случая не могат да възникнат в портфейла му. Следователно той не взема мерки в случай на тази ситуация. застрахователно събитие... Ако настъпи 118-то застрахователно събитие, презастрахователят ще плати само 7 случая, има техническа разруха на възложителя).
Имайте предвид, че лявата граница на отговорността на презастрахователя може да бъде изместена. Трябва да плащате за презастраховане, застрахователят няма собствени средства, затова се опитва да се изплати с парите на своите клиенти. (По принцип застрахователят винаги използва парите на клиентите за решаване на възникнали проблеми. Това се отнася до еднократната нетна премия, събрана тази година).
Той е събрал вноски в размер на:, а средните очаквани плащания са, така че очакваната печалба (преди презастраховане) ще бъде 5000. Застрахователят споделя очакваната печалба с презастрахователя, за да подобри неговата надеждност. Но това означава, че събрани средстванедостатъчно за плащане на обезщетение за поне 110-ти случай.
Целият риск X може да бъде разделен на три части: Y - риск на застрахователя, Z - риск на презастрахователя, W - необезпечен риск. Очевидно X = Y + Z + W, тогава M (X) = M (Y) + M (Z) + M (W). При изчисляване на вариациите трябва да се вземе предвид ковариацията. За да се анализира дисперсията (и процесът като цяло), трябва да се избере приближение. Тъй като тогава законът на Поасон не може да се приложи, но нормалното приближение е приемливо.
Трябва обаче да сте готови за появата на неточности, причинени от промяна в закона за разпределението. Например загубата на "опашките" на нормалното разпределение, невъзможността за приемане на отрицателни стойности, грешки при замяната на дискретното разпределение с непрекъснати, разликата в резултатите при използване на локалната теорема на Лаплас и интегралната теорема на Лаплас и др. (Между другото, ако щетата е фиксирана, т.е. общата щета в портфейла е кратна на броя на застрахователните събития, тогава локалната теорема е за предпочитане!). И накрая, има изчислителни грешки.
Това обстоятелство илюстрира сложността на актюерските задачи. Курсът на обучение демонстрира само принципен подход. На цивилизован застрахователен пазарв условия на ожесточена конкуренция печели този, който брои по-точно (!).
И така, трябва да намерим M (X), M (Y), M (Z) (и евентуално M (W)).
За нормален закон за разпределение, плътността
условието е изпълнено:
тогава е ясно, че когато интервалът на интегриране се стеснява до (0, n), интегралът на положителната функция ще намалее, така че математическото очакване на целия риск X ще бъде малко по-малко от
За това, което следва, ще ни трябват различни,
Означаваме този интеграл с
Така че е установено, че
За да изчислим интеграл от тип J, правим промяна на променливите, която е традиционна при работа с нормално разпределение:
тогава: следователно:
Така че, трябва само да изчислите и използвате свойствата на експонента и функцията на Лаплас.
1. на практика:
и с голямо портфолио
И така, рискът на застрахователя след презастраховане беше:
следователно,
щети по договора на застрахователната компания
На практика е необходимо да се посочи кой възстановява 110-ия случай, следователно
Рискът на презастрахователя е доста малък, което се обяснява с неговия относително голям. Интересното е, че общият риск на застрахователя и презастрахователя е равен на Това се дължи на отхвърлянето на 100% надеждност. Разликата от 4,06 би трябвало да е необезпеченият риск.
За да обобщим: Несъответствието се обяснява с факторите, посочени в началото на раздела. Имайте предвид, че застрахователят може да очаква да увеличи очакваната си печалба преди искове (7370). А за презастраховане ще трябва да плащате само e.s.s. (391 конвенционални единици), което е напълно приемливо! Разликата се кредитира в резерва, което ще позволи да се направи без презастраховане в бъдеще (или да се увеличи надеждността, или да се намали премията, като по този начин се повиши нейната конкурентоспособност).