6.2 Прилагане на ограничения в икономическите изчисления
Сложна лихва
При практическите изчисления се използват предимно дискретни проценти, т.е. лихва, изчислена за фиксирани равни интервали от време (година, полугодие, тримесечие и т.н.). Времето е дискретна променлива. В някои случаи - в доказателствата и изчисленията, свързани с непрекъснати процеси, става необходимо да се използва непрекъснат интерес. Помислете за формулата за сложна лихва:
S = P (1 + i) n. (6.16)
Тук P е първоначалната сума, i е лихвеният процент (под формата на десетична дроб), S е сумата, образувана до края на срока на кредита в края на n-тата година. Сложният растеж е експоненциален процес. Добавянето на начислена лихва към сумата, която е послужила като основа за тяхното определяне, често се нарича капитализация на лихва. Във финансовата практика те често се сблъскват с обратния проблем за определяне на начислената сума: за дадена сума S, която трябва да бъде платена след известно време n, е необходимо да се определи размера на получения заем P. В този случай те казват че сумата S е дисконтирана, а лихвата под формата на разликата S е P, се наричат дисконт. Стойността P, намерена чрез дисконтиране на S, се нарича съвременна или намалена стойност на S. Имаме:
P = Þ P = = 0.
Така при много дълги срокове на плащане текущата стойност на последния ще бъде изключително незначителна.
В практическите финансови и кредитни операции рядко се използват непрекъснати процеси на увеличаване на количеството пари, тоест увеличаване за безкрайно малки периоди от време. Непрекъснатият растеж е от много по-голямо значение при количествения финансов и икономически анализ на сложни производствени и икономически обекти и явления, например при избора и обосновката на инвестиционни решения. Необходимостта от използване на непрекъснати нараствания (или непрекъснати проценти) се определя преди всичко от факта, че много икономически явления имат непрекъснат характер, следователно аналитичното описание под формата на непрекъснати процеси е по-адекватно, отколкото на базата на дискретни. Нека обобщим формулата за сложна лихва за случая, когато лихвата се изчислява m пъти годишно:
S = P (1 + i / m) mn.
Начислената сума за дискретни процеси се намира по тази формула, тук m е броят на периодите на начисляване в годината, i е годишната или номиналната ставка. Колкото повече m, толкова по-кратки са интервалите от време между моментите на изчисляване на лихвите. В предела като m ® ¥ имаме:
`S = P (1 + i / m) mn = P ((1 + i / m) m) n.
Тъй като (1 + i / m) m = e i, тогава `S = P e in.
При непрекъснато нарастване на лихвата се използва специален вид лихвен процент - силата на растеж, който характеризира относителното нарастване на натрупаната сума за безкрайно малък период от време. При непрекъсната капитализация на лихвата, начислената сума е равна на крайната сума в зависимост от първоначалната сума, периода на начисляване и номиналния лихвен процент. За да разграничим процентите на непрекъсната лихва от лихвите на дискретна лихва, нека означим първия с d, след това `S = Pe.
Силата на растеж d е номиналният лихвен процент при m® ¥. Коефициентът на натрупване се изчислява с помощта на компютър или от функционални таблици.
Потоци за плащане. Финансов наем
Договорите, сделките, търговските и промишлено-икономическите операции често включват не отделни еднократни плащания, а набор от плащания и постъпления, разпределени във времето. Отделните елементи на такава серия, а понякога и поредицата от плащания като цяло, се наричат поток от плащания. Членовете на платежния поток могат да бъдат или положителни (постъпления), или отрицателни (плащания) стойности. Поток от плащания, чиито всички членове са положителни, а интервалите от време между две последователни плащания са постоянни, се нарича финансов наем. Анюитетите се делят на годишни и p-срочни, където p характеризира броя на плащанията през годината. Това са дискретни анюитети. Във финансово-икономическата практика има и поредици от плащания, които се извършват толкова често, че на практика могат да се считат за непрекъснати. Такива плащания се описват като непрекъснати анюитети.
Пример 3.13. Да предположим, че в края на всяка година в рамките на четири години в банката се депозират 1 милион рубли, лихвата се изчислява в края на годината, процентът е 5% годишно. В този случай първата вноска ще се превърне в края на анюитета в размер на 10 6 ´ 1,05 3, тъй като съответната сума е била по сметката в продължение на 3 години, втората вноска ще се увеличи на 10 6 ´ 1,05 2, тъй като тя беше в сметката 2 години... Последната вноска не носи лихва. Така в края на анюитетния период вноските с начислената лихва върху тях представляват поредица от числа: 10 6 ´ 1,05 3; 10 6 ´ 1,05 2; 10 6 ´ 1,05; 10 6. Стойността, натрупана до края на анюитетния период, ще бъде равна на сбора от членовете на тази серия. За да обобщим казаното, извеждаме съответната формула за начисления размер на годишния наем. Нека обозначим: S е начислената сума на наема, R е размерът на члена на наема, i е лихвеният процент (десетична дроб), n е периодът на наема (брой години). Членовете на наема ще печелят лихва за n - 1, n - 2, ..., 2, 1 и 0 години, а начислената сума на членовете на наема ще бъде
R (1 + i) n - 1, R (1 + i) n - 2, ..., R (1 + i), R.
Нека пренапишем тази серия в обратен ред. Това е геометрична прогресия със знаменател (1 + i) и първия член R. Намерете сбора от членовете на прогресията. Получаваме: S = R´ ((1 + i) n - 1) / ((1 + i) - 1) = = R´ ((1 + i) n - 1) / i. Означаваме със S n; i = ((1 + i) n - 1) / i и ще го наречем коефициент на увеличение на наема. Ако лихвата се изчислява m пъти годишно, тогава S = R´ ((1 + i / m) mn - 1) / ((1 + i / m) m - 1), където i е номиналният лихвен процент.
Стойността a n; i = (1 - (1 + i) - n) / i се нарича коефициент на намаляване на наема. Коефициентът за намаляване на наема при n ® ¥ показва колко пъти текущата стойност на наема е по-голяма от неговия срок:
A n; i = (1 - (1 + i) - n) / i = 1 / i.
Пример 3.14. Под постоянна рента се разбира последователност от плащания, чийто брой членове не е ограничен – изплаща се в продължение на безкраен брой години. Постоянният анюитет не е чиста абстракция – на практика това са някои видове облигационни заеми, оценка на способността на пенсионните фондове да изпълняват задълженията си. Въз основа на същността на вечния наем можем да приемем, че натрупаната му сума е равна на безкрайно голяма стойност, което е лесно да се докаже с формулата: R´ ((1 + i) n - 1) / i ® ¥ при n ® ¥.
Редукционен коефициент за постоянен анюитет a n; i ® 1 / i, откъдето A = R / i, тоест съвременната стойност зависи само от стойността на срока на наема и приетия лихвен процент.
Потенциален метод. Някои други начини за решаване на проблеми обаче се основават на метода на разпределение, което налага неговото изследване. 9. Метод на потенциалите Решаването на транспортната задача по всякакъв начин се осъществява върху модел. Схемата за прилагане на потенциалния метод е следната. Основната част на оформлението е подчертана с двойни линии. Съдържа k × l клетки. Всеки...
Знаците трябва да бъдат разделени на два основни типа игри, които носят най-голямо образователно натоварване, тъй като всички останали произлизат от тях. Това са иновативни игри и ансамблови игри. Симулационните или ролевите игри ви позволяват да обучавате персонал практически от нулата, докато предишните два вида са свързани повече с обучението за развитие. Предназначение на бизнес игрите Бизнес...
От другите фактори малко може да се направи. Когато се присъединих към Chrysler, взех със себе си моите тефтери на Ford, които отразяваха кариерата на няколкостотин мениджъри на Ford. След като напуснах, написах подробен списък с това, което не исках да оставя в офиса си. Тези тетрадки в черни подвързии несъмнено принадлежаха на мен, но беше възможно...
Научен. картина на света, кат. дава естествознание. Необходимостта от прилагане на естествените научни методи и закони в практиката на хуманитарните специалности доведе до поставянето на курса, кат. ще изучаваме: Физика за хуманитарни науки. (38) Връзка между разделите на естествените науки. Думата естествена наука е комбинация от 2 думи: природа (природа) и знание. Понастоящем...
Въпросите за изчисляване и прогнозиране на финансово-икономически показатели стават все по-важни. В съвременните условия финансовите математически модели са неразделна и много важна част от статистическия анализ с цел разработване и вземане на решения.
Във финансово-икономическите изчисления паричните потоци (парични суми) винаги са свързани с определени интервали от време. В тази връзка при финансовите транзакции (споразумения, договори) задължително се посочват фиксирани срокове, дати, честота на плащания (или получаване на средства). Във финансовата математика факторът време се взема предвид чрез изчисляване (прилагане) на лихвения процент, като се отчита интензитета на лихвата (лихвени пари). Лихвеният процент е съотношението на размера на парите за лихва, платени за строго фиксиран период от време, към размера на заема, заема и др. Интервалът от време, в който е ограничен лихвеният процент, се нарича период на натрупване (натрупване).
Лихвените проценти могат да се прилагат към една и съща първоначална сума през целия срок на кредита, заема. Този вид лихва се нарича прости лихвени проценти. В този случай разпределението на сумата за натрупване се описва с еднакъв линеен закон за разпределение, а самият процес на натрупване може да бъде изразен под формата на аритметична професия:
FV = PV ( 1 + n * i) или FV = PV + I,
където FV е начислената сума;
PV - текуща (начална) сума;
n е броят на периодите на начисляване;
i - лихвен процент;
i = PV * n * i - приходи от лихви за целия период.
В някои случаи е възможно да се прилагат дискретно променящи се лихвени проценти във времето. Например обикновената лихва през първата година е 10%, през втората - 15%, през третата - 20%.
Когато периодите на начисляване (например по години) са равни, тогава формулата за начисляване чрез проста лихва е: FV = PV (1 + n-i) m,
където m е общият брой операции по реинвестиране.
Във вътрешната практика по правило не се прави разлика между понятията лихва по заема (кредита) и сконтовия процент. Обикновено се използва сборният термин – лихвеният процент. В същото време терминът сконтов процент се намира във връзка с лихвения процент на рефинансиране на Централната банка на Руската федерация, както и към транзакциите със сметки.
Трябва да се подчертае, че начисляването на лихва в повечето случаи се извършва в края на всеки период (интервал) на начисляване. Този метод за определяне и изчисляване на лихвите се нарича декурсивен метод. В някои случаи в съответствие със сключените споразумения се използва антисипативен (предварителен) метод, т.е. лихвата се изчислява в началото на всеки период на начисляване.
При финансовите изчисления най-често срещаните задачи са да се определи начислената сума FV за дадена (първоначална) стойност на текущата стойност на заем (кредит) PV, както и текущата сума (получена) PV за дадена начислена сума FV . Първият тип задача се нарича комбиниране (процес на натрупване), вторият тип задачи е дисконтиране. Разликата в стойностите на настоящата стойност PV на натрупаната сума FV се нарича отстъпка D k, т.е. D K = FV - PV.
Проста лихваможе да бъде точна, когато при изчислението годината се приема равна на нейната действителна продължителност в дни, или обикновена, когато продължителността на годината се приема равна на 360 дни. Приетият брой дни в годината се нарича времева база.
Има и понятия катотърговско (или банково) счетоводство, менителници, дисконтиране с дисконтов процент (обикновена лихва). В практиката на финансово-кредитните отношения се използват прости сконтови проценти при отчитане на менителници и други парични задължения. В зависимост от формата на представяне на капитала и начина на изплащане на дохода, ценните книжа се разделят на две групи: дългови (купонни облигации, сертификати, менителници - с фиксиран лихвен процент) и собствен капитал (акции), представляващи дял на притежателя в недвижими имоти и осигуряване на получаване на дивиденти за неограничено време ... Всички останали видове ценни книжа са деривати от дълг и собствен капитал: опции, фючърсни договори, приватизационни чекове.
За да се избегнат грешки и загуби в условия на инфлация (намаляване на покупателната способност на парите), е необходимо да се вземе предвид механизмът на влиянието на инфлацията върху резултата от финансовите транзакции. При изчисленията се използва относителната стойност на процента на инфлация, т.е. процент на инфлация α : α = (PV α - PV) / PV или α = PV / PV * 100
където α е процентът на инфлация;
PV α - сумата, отразяваща действителната покупателна способност (действителната стойност на стоката за определен период от време/);
PV е сумата при липса на инфлация;
РV = PV α - PV - сумата от инфлационни пари.
Същността на простия интерес ес това, че те се начисляват на една и съща сума на капитала през целия срок на заема (кредита).
В практиката на финансовите изчисления датата на издаване и датата на погасяване на заема винаги се отчитат като един ден. В този случай се използва една от двете опции
1)точен процентсе получават, когато действителният брой дни в годината (365 или 366) и точният брой дни на заема се вземат за времева база:
където Nd е продължителността на начисляване в години;
D - продължителността на периода на начисляване в дни;
K е продължителността на годината в дни.
Точният брой дни на заема D се определя според специална таблица, която показва поредните номера на всеки ден от годината (числото на първия ден се изважда от числото, съответстващо на деня на края на заема (заем));
2)обикновена лихвасе получава, когато се прилага приблизителният брой дни на заема и продължителността на целия месец се приема за 30 дни. Този метод се прилага при изкупуване на облигации (заеми). Начислената FV сума в тези случаи се определя от израза
Нека определим лихвения процент, като вземем предвид инфлацията Iα, по формулата на I. Fisher.
Беспалова Екатерина
Съдържанието на работата отговаря на посочената тема и е представено в съответствие с добре изготвен план. Разделът „Въведение“ дефинира темата, целите и задачите на работата, както и изброява методите на изследване. Поставените цели и задачи на работата са достатъчно компетентно и убедително потвърдени от материалите на работата. Авторите успешно използват методи като анализ, синтез, сравнение. Материалите на работата показват, че изследователите внимателно са проучили теоретичния материал по тази тема, извършили са изчисления и са направили свои собствени заключения. Приложното значение на тази тема е много голямо и засяга финансовата, икономическата, демографската и други сфери на нашия живот. Разбирането на интереса и способността за извършване на процентни изчисления и изчисления са необходими на всеки човек, тъй като сме изправени пред интерес в ежедневието. В теоретичната част на работата по проектиране е представено всичко, което трябва да знаете за простите и сложните лихви: формули, обяснения и изчисления с помощта на тези формули. Добро допълнение към работата е изследователската част, която е посветена на сравнителния анализ на сложната и простата лихва, която показва пригодността на сложната лихва в банковата система. Студентът самостоятелно направи проучване върху депозитите на физически лица в различни банки, като направи обосновано заключение, че сложната лихва играе важна роля в икономиката и банковата система. Материалът може да бъде полезен за учители по математика, икономика, студенти от образователни организации.
Изтегли:
Визуализация:
Държавна бюджетна професионална образователна институция на Република Хакасия "Колеж по комунални услуги и услуги"
Тема на проекта:
« Използването на сложна лихва в икономически изчисления "
Научен съветник: Чердинцева Л.А.
Ученик: Беспалова Екатерина Андреевна
Група: ТТ-11
Абакан, 2016 г
Въведение
Всеки ден правим едно и също нещо – живеем, работим, ядем и спим, за нас това е ежедневие. Дори не забелязваме, че много термини са свързани с ежедневието. Например икономиката е част от ежедневието. Хората участват ежедневно в икономически дейности, живеят в икономическа среда. От своя страна никоя икономика не е пълна без лихва. Процентите ни заобикалят навсякъде.
Но интересът се появява в древни времена сред вавилонците. Паричното плащане с лихва е било обичайно в Древен Рим. Римляните наричали пари за лихви, които длъжникът плащал на кредитора за всеки сто. От римляните интересът преминава към други народи.
В момента лихвите се използват във всички икономически сфери на дейност: в предприятията, в статистиката, в банковата система и др. Ще покажем нашата работа на примера на банките.
Защо банки? Банките са в центъра на икономическия живот, обслужвайки интересите на производителите, свързвайки индустрията и търговията, селското стопанство и населението с паричния поток. По целия свят банките имат значителна власт и влияние, разполагат с огромен паричен капитал, който се стича към тях от предприятия и фирми, от търговци и фермери, от държавата и частни лица.
Защо човек носи спестяванията си в банката? Разбира се, за да се гарантира тяхната безопасност и най-важното, за да получите доход. И тук познаването на формулата за проста или сложна лихва, както и способността да се изготви предварително изчисление на лихвите върху вноската, ще ви бъдат полезни повече от всякога. В крайна сметка прогнозирането на лихвите по депозити или лихви по заеми е един от компонентите на разумното управление на вашите финанси.
Това е актуалността на темата.
Обективен:
Изучаване на прости и сложни лихви в икономически изчисления.
задачи:
Сравнете проста и сложна лихва по депозити на физически лица.
Сравнете доходите от депозити на физически лица, като използвате формули за сложна лихва в зависимост от интервала от време.
Анализирайте доходите от депозити на физически лица в различни банки.
Интерес
Лихвата е сумата, която се плаща за използване на средствата.
Процентите се делят на прости и сложни.
1) Проста лихва - лихва, която се начислява върху първоначалната сума.
S - сумата на дължимите средства, които трябва да бъдат върнати на вложителя в края на срока на депозита (т.е. депозита).
I - годишна лихва
t - броят дни на начисляване на лихва по привлечения депозит
K - броят на дните в една календарна година (365 или 366)
P - първоначалната сума на средствата, привлечени към депозита
Излязохме с проблем, за да можете да видите колко проста лихва се използва в банковите изчисления.
Цел 1.
Те направиха вноска в банката в размер на 100 000 рубли, а след 5 години сметката имаше 168 000 рубли. Определете лихвения процент на банката, като използвате проста лихва.
Решение:
I = (168000-100000) * (365 * 100%) / 100 000 * 1825 = 13,6%
Отговор: 13,6% процент.
2) Сложна лихва - лихва, натрупана върху начислена лихва.
I - годишна лихва;
j е броят на календарните дни в периода, след който банката капитализира начислената лихва;
K е броят на дните в една календарна година (365 или 366);
P - първоначалният размер на средствата, привлечени към депозита;
n - броят на операциите по капитализиране на начислената лихва през целия период на набиране на средства;
S - сумата на дължимите средства, които трябва да бъдат върнати на вложителя в края на срока на депозита. Състои се от сумата на депозита с лихва.
И сега ще решим проблема по същия начин, но със сложна лихва.
Цел 2.
Банката направи депозит в размер на 100 000 рубли. на 13,6% за 5 години. Начисляване на лихва - веднъж годишно. Колко пари ще изтегли вложителят от сметката в края на 5 години?
Решение:
S = 100 000 * (1+ (13,6% * 365) / 365 * 100%) 5 = 100 000 * 1, 1365 = 189187, 2 рубли.
Отговор: 189187,2 рубли.
Нека сравним прости и сложни проценти, за да разберем разликата между тях:
Проблем 3. Банката направи депозит в размер на 100 000 рубли. при 12% за 10 години. Определете колко пари ще бъдат всяка година, като използвате проста и сложна лихва.
В таблицата виждаме, че е по-изгодно да се използва сложна лихва:
Графика на растежа на капитала, използваща проста и сложна лихва:
Сега нека сравним сложната лихва по депозита в зависимост от периода от време.
Проблем 4. Банката направи депозит в размер на 100 000 рубли. за 1 година при лихва от 12% годишно. Сравнете сумите, които ще се дължат на възвръщаемостта на вложителя при изчисляване на лихвата: дневно, седмично, месечно, тримесечно, полугодишно и годишно.
В таблицата виждаме, че колкото по-често е интервалът за изчисляване на лихвите, толкова повече приходи получаваме.
Изучавайки прости и сложни лихви, направихме анализ в коя банка е по-добре да инвестирате пари в момента и защо.
За основа взехме три банки: B&N Bank, Alfa-Bank и VTB 24.
VTB 24 - "Печеливш" депозит
Алфа-Банк - депозит Победа
B&N Bank - депозит "Максимален доход".
Проблем 5. Имаме 500 000 рубли. и изберете в коя банка да вложите тази сума, за да получите най-висок доход за 1 година.
В момента е най-добре да направите депозит в Алфа-Банк
заключение:
Проведено изследване на прости и сложни лихви в икономически изчисления.
Сравнихме проста и сложна лихва по депозити на физически лица.
Сравнихме доходите от депозити на физически лица, използвайки формули за сложна лихва в зависимост от интервала от време.
Извършен анализ на доходите от депозити на физически лица в различни банки
. СПРАВКА И ИНТЕРНЕТ РЕСУРСИ
1. Четиркин, Е. М. Финансова математика / Е. М. Четиркин,
учебник. - 6-то изд., преп. - М.: Дело, 2006 .-- 399 с. 2. Самаров, К. Л. Финансова математика: Практ. курс: учебно ръководство / К. Л. Самаров. - М.: Алфа-М; ИНФРА-М, 2006 .-- 78 с.
3. Финансова математика: учебник за ВУЗ / П. П. Бочаров. - 2-ро изд. - М .: Физматлит, 2005 .-- 574 с.
4 Финансова математика: учебно ръководство. комплекс / С.Г.Валеев. -Уляновск: UlSTU, 2005 .-- 106 с.
5. Финансова математика. В. Малихин: http://www.finansmat.ru/.
6. Финансова математика. А. Федоров (лекции): http://wdw2005.narod.ru/FM_lec.htm#_Toc179997391.
7. Математическо бюро: http://www.matburo.ru/index.php.
8. Финансова математика (лекции):
http://treadwelltechnologies.com/index.html.
9. Финансов анализ: http://www.finances-analysis.ru/finances-maths /.
10. Знания - за масите: http://www.finmath.ru/.
1 слайд
2 слайд
ВЪВЕДЕНИЕ 1. Уместност 2. История на произхода. 3. Произход на обозначението. 4. Правила за набиране на персонал. 5. Сравнение на стойности в проценти 6. Видове проценти. 7. Фактори, взети предвид при финансово-икономически изчисления. 8. Заключение.
3 слайд
Съвременният живот прави проблемите с лихвите актуални, тъй като обхватът на практическото приложение на лихвените изчисления се разширява. Уместност.
4 слайд
Думата "процент" идва от латинската дума pro centum, която буквално се превежда като "за сто", или "от сто". Процентите са много удобни за използване на практика, тъй като изразяват части от цели числа в едни и същи стотни. История на произхода.
5 слайд
Знакът % се дължи на печатна грешка. В ръкописите procentum често се заменя с думата „cento“ (сто) и се пише в съкратена форма – cto. През 1685 г. в Париж е отпечатана книга – ръководство за търговска аритметика, където по погрешка наборникът набира % вместо cto. Произходът на обозначението.
6 слайд
В текста знакът за процент се използва само с цифри в цифров вид, от които се отделя с неразкъсващ интервал при въвеждане (приход 67%), освен когато знакът за процент се използва за съкращаване на сложни думи, образувани с помощта на цифрата и прилагателно процент. Правила за набиране на персонал.
7 слайд
Понякога е удобно да се сравняват две стойности не по разликата в техните стойности, а като процент. Процентно сравнение
8 слайд
Има прости и сложни видове интереси. При използване на проста лихва лихва се начислява върху първоначалната сума на депозита (заема) през целия период на начисляване. Видове интереси
9 слайд
Методите на финансовата математика се използват при изчисляване на параметрите, характеристиките и свойствата на инвестиционните операции и стратегии, параметрите на държавни и неправителствени заеми, заеми, кредити, при изчисляване на амортизация, застрахователни премии и премии, пенсионни начисления и плащания, в изготвяне на планове за погасяване на дълг, оценка на рентабилността на финансовите транзакции ... Фактори, взети предвид при финансово-икономически изчисления.
Добре известна ситуация е, че една и съща сума пари не е еднаква в различни периоди от време. Отчитането на фактора време във финансовите транзакции се извършва чрез изчисляване на лихва.
Лихвени пари (лихва) е размерът на дохода от отпускане на пари под каквато и да е форма (издаване на заеми, откриване на депозитни сметки, закупуване на облигации, наемане на оборудване и др.).
Размерът на лихвите зависи от размера на дълга, срока на неговото плащане и лихвения процент, който характеризира интензитета
начисляване на лихви. Размерът на дълга с начислена лихва се нарича начислена сума. Съотношението на начислената сума към първоначалната сума на дълга се нарича коефициент на натрупване (коефициент). Интервалът от време, за който се изчислява лихвата, се нарича период на начисляване.
При използване на прости лихвени проценти размерът на лихвите се определя въз основа на първоначалния размер на дълга, независимо от броя на периодите на начисляване и тяхната продължителност, по формулата:
Горната формула се използва за определяне на стойността на начислената цена на капитала за краткосрочни финансови инвестиции.
Ако срокът на дълга е определен в дни, изразът трябва да се вмъкне в горната формула:
където 5 е продължителността на периода на начисляване в дни;
Броят на дните в годината може да се вземе точно - 365 или 366 (точни проценти) или приблизително - 360 дни (обикновени проценти). Броят на дните във всеки цял месец през срока на дълга също може да се вземе точно или приблизително (30 дни). В световната банкова практика се използва:
 |
приблизителният брой дни във всеки цял месец и обикновената лихва се наричат "немска практика";
точен брой дни във всеки месец и общ интерес – „Френска практика“;
точния брой дни и точния процент - "Практика по английски".
В зависимост от използването на конкретна практика за изчисляване на лихва, техният размер ще се различава.
Нека разгледаме примери за финансови и икономически изчисления за ценни книжа.
Пример 7.1.
Сертификат за спестявания с номинална стойност 200 хиляди рубли. издадена на 20.01.2005г. с падеж 05.10.2005г при 7,5% годишно.
Определете размера на начислената лихва и цената на обратно изкупуване на сертификата, когато използвате различни методи за изчисляване на лихва.
Ние ще определим точния и приблизителен брой дни до изкупуването на сертификата.
tT04H = 11 дни на януари + 28 дни на февруари + 31 дни на март + 30 дни на април + 31 дни на май + 30 дни на юни + 31 дни на юли + 31 дни на август + 30 дни на септември + 5 дни от октомври = 258 дни.
Приблизително = 11 дни през януари + 30 х 8 дни (февруари - септември) + 5 дни през октомври = 256 дни.
При сертификатите доходът се начислява с лихвен процент. Нека приложим три метода за изчисляване на лихвите:
1) точна лихва, срок на кредита - точен брой дни:
Itochn = 0,075 x 200 x 258/365 = 10,6 хиляди рубли; цена за обратно изкупуване на сертификата:
51 = 200 + 10,6 = 210,6 хиляди рубли;
2) обикновена лихва, срок на заема - точния брой дни, цена за обратно изкупуване на сертификат:
52 = 200 + 10,8 = 210,8 хиляди рубли;
3) обикновена лихва, срок на кредита - приблизителен брой
Іobікн = 0,075 x 200 x 256/360 = 10,7 хиляди рубли, цената на обратно изкупуване на сертификата:
53 = 200 + 10,7 = 210,7 хиляди рубли.
Пример 7.2.
Банката приема депозити за 3 месеца при ставка 4% годишно, за 6 месеца при ставка от 10% годишно и за една година при ставка от 12% годишно. Определете сумата, която собственикът на депозита ще получи 50 хиляди рубли. и в трите случая.
Размерът на депозита с лихва ще бъде:
1) за период от 3 месеца:
S = 50 x (1 + 0,25 x 0,04) = 50,5 хиляди рубли;
2) за период от 6 месеца:
S = 50 x (1 + 0,5 x 0,1) = 52,5 хиляди рубли;
3) за срок от 1 година:
S = 50 x (1 + 1 x 0,12) = 56 хиляди рубли.
При вземането на решение за пласиране на средства в банката важен фактор е съотношението на лихвения процент към процента на инфлация. Коефициентът на инфлация показва с колко процента са се увеличили цените през разглеждания период от време и се определя като:
Индексът на инфлацията показва колко пъти цените са се увеличили през разглеждания период. Коефициентът на инфлация и индексът на инфлация за същия период са свързани чрез съотношението:
където Ju е индексът на инфлацията за периода;
N е броят на периодите през разглеждания период.
Ниво на инфлация за периода.
Пример 7.3.
Определете очаквания годишен темп на инфлация при месечен процент на инфлация от 6 и 12%.
Ju = (1 + 0,06) 12 = 2,01.
Следователно очакваната годишна инфлация ще бъде = 2,01 - 1 = 1,01, или 101%.
Ju = (1 + 0,12) 12 = 3,9.
Очакваният процент на инфлация ще бъде:
3,9 - 1 = 2,9 или 290%.
Инфлацията влияе върху рентабилността на финансовите транзакции.
Реалната стойност на начислената сума с лихва за крайния срок, дадена към момента на отдаване на парите в заем, ще бъде:
 |
Пример 7.4.
Банката приема депозити за шест месеца при процент от 9% годишно. Определете реалните резултати от депозитна операция за депозит от 1000 хиляди рубли. при месечна инфлация от 8%.
Размерът на депозита с лихва ще бъде:
S = 1 x (1 + 0,5 x 0,09) = 1045 хиляди рубли.
Индексът на инфлация за периода на съхранение на депозита е:
Ju = (1 + 0,08) 6 = 1,59.
Начислената сума, като се вземе предвид инфлацията, ще съответства на сумата:
1045 / 1,59 = 657 хиляди рубли.
Когато се използват сложни лихвени проценти, лихвата, начислена след първия период на начисляване, която е част от общия дълг, се добавя към дължимата сума. Във втория период на начисляване лихвата ще се изчислява въз основа на първоначалния размер на дълга, увеличен със сумата на лихвата, начислена след първия период на начисляване, и така нататък във всеки следващ период на начисляване. Ако сложната лихва се изчислява с постоянен процент и всички периоди на начисляване имат една и съща продължителност, тогава начислената сума ще бъде равна на:
 |
където P е първоначалният размер на дълга;
в - лихвен процент в периода на начисляване;
n е броят на периодите на начисляване през срока.
Пример 7.5.
Депозит 50 хиляди рубли. внесени в банката за 3 години със сложна лихва в размер на 8% годишно. Определете размера на начислената лихва.
Размерът на депозита с начислена лихва ще бъде равен на:
S = 50 x (1 + 0,08) 3 = 63 хиляди рубли.
Размерът на начислената лихва ще бъде:
I = S - P = 63 - 50 = 13 хиляди рубли.
Ако лихвите се начисляват при обикновен процент от 8% годишно, техният размер ще бъде:
I = 3 x 0,08 x 50 = 12 хиляди рубли.
По този начин, изчисляването на лихва със сложен лихвен процент води до голяма сума пари за лихви.
Сложната лихва може да се изчислява няколко пъти годишно. В този случай годишният лихвен процент, въз основа на който се определя размера на лихвата във всеки период на начисляване, се нарича
номинален годишен лихвен процент. При срок на дълга от n години и сложна лихва, натрупана m пъти годишно, общият брой периоди на начисляване ще бъде:
Начислената сума ще бъде равна на:
1) срокът на дълга:
Пример 7.6.
Вложителят прави депозит от 40 хиляди рубли. за 2 години при номинална ставка 40% годишно с месечно начисляване и капитализиране на лихвите. Определете начислената сума и размера на начислената лихва.
Броят на периодите на начисляване е:
Следователно натрупаната сума ще бъде:
Сметка или друго парично задължение преди падежа могат да бъдат закупени от банката на цена, по-ниска от сумата, която трябва да бъде платена по тях в края на срока, или, както се казва, взети под внимание от банката с отстъпка. В същото време носителят на задължението получава пари по-рано от посочения в него период, минус доходите
банка под формата на отстъпка. Банката при падежа на менителница или друго задължение получава цялата посочена в нея сума.
Ако периодът от момента на отчитане до момента на погасяване на задължението е част от годината, отстъпката ще бъде равна.