Se stabilește că numărul de coeficienți canonici nenuli ai unei forme pătratice este egal cu rangul acesteia și nu depinde de alegerea unei transformări nedegenerate prin care forma A(X, X) se reduce la forma canonică. De fapt, nici numărul de coeficienți pozitivi și negativi nu se modifică.
Teorema11.3 (legea inerției formelor pătratice). Numărul de coeficienți pozitivi și negativi în forma normală a unei forme pătratice nu depinde de modul în care forma pătratică este redusă la forma normală.
Fie forma pătratică f rang r din n necunoscut X 1 , X 2 , …, X n redus la forma normala in doua moduri, i.e.
f = + 
+ … + 
– 
– … – 
,
f = 
+ 
+ … + 
– 
– … – 
. Se poate dovedi că k = l.
Definiția 11.14. Se numește numărul de pătrate pozitive în formă normală la care se reduce forma pătratică reală indice de inerție pozitiv acest formular; numărul de pătrate negative - indice de inerție negativ, iar suma lor este indicele de inerție pătratică sau semnătură forme f.
Dacă p este un indice de inerție pozitiv; q– indice de inerție negativ; k = r = p + q este indicele de inerție.
Clasificarea formelor pătratice
Fie forma pătratică A(X, X) indicele de inerție este k, indicele pozitiv de inerție este p , indicele negativ de inerție este q, atunci k = p + q.
S-a dovedit că în orice bază canonică f = {f 1 ,
f 2 ,
…, f n) această formă pătratică A(X,
X) poate fi redusă la forma normală A(X,
X) = 
+ 
+ … + 
– 
– … – 
, Unde
1 ,
2 ,
…,
n
coordonate vectoriale X in baza ( f}.
Condiție necesară și suficientă pentru ca o formă pătratică să fie definită de semn
Afirmație11.1. A(X, X) specificat în n V, a fost semn-definit, este necesar și suficient ca fie un indice de inerție pozitiv p, sau un indice negativ de inerție q, a fost egal cu dimensiunea n spaţiu V.
În același timp, dacă p = n, apoi forma pozitiv X ≠ 0 A(X, X) > 0).
Dacă q = n, apoi forma negativ definit (adică pentru orice X ≠ 0 A(X, X) < 0).
O condiție necesară și suficientă pentru schimbarea semnului unei forme cuadratice
Afirmația 11.2. Pentru forma pătratică A(X, X) specificat în n-spațiu vectorial dimensional V, a fost alternativ(adică există X, y ce A(X, X) > 0 și A(y, y) < 0) необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.
O condiție necesară și suficientă pentru formele cuadratice cvasi-schimbătoare
Afirmația 11.3. Pentru forma pătratică A(X, X) specificat în n-spațiu vectorial dimensional V, a fost cvasisemn(adică pentru orice vector X sau A(X, X) ≥ 0 sau A(X, X) ≤ 0 și există un astfel de vector diferit de zero X, ce A(X, X) = 0) este necesar și suficient pentru ca una dintre cele două relații să aibă loc: p < n, q= 0 sau p = 0, q < n.
cometariu. Pentru a aplica aceste trăsături, forma pătratică trebuie redusă la forma canonică. În criteriul 15 al definiției semnului al lui Sylvester, acest lucru nu este necesar.
Lecții individuale online: Trimite cererea ta acum: [email protected]Matematică (USE, OGE), engleză (conversațional, gramatică, TOEFL)
Rezolvarea problemelor: la matematică, IT, economie, psihologie Legea inerției formelor pătratice
Aplicații Windows portabile la Bodrenko.com
§ 4. Legea inerţiei formelor pătratice. Clasificarea formelor pătratice
1. Legea inerției formelor pătratice. Am observat deja (vezi Remarca 2, punctul 1 din secțiunea anterioară) că rangul unei forme pătratice este egal cu numărul de coeficienți canonici nenuli. Astfel, numărul de coeficienți canonici nenuli nu depinde de alegerea unei transformări nedegenerate prin care forma A(x, x) se reduce la formă canonică. De fapt, orice modalitate de reducere a formei A(x, x) la forma canonică nu modifică numărul de coeficienți canonici pozitivi și negativi. Această proprietate se numește legea inerției formelor pătratice.
Înainte de a trece la justificarea legii inerției, să facem câteva observații.
Fie forma A(x, x) în baza e = (e 1 , e 2 ,..., e n ) să fie determinată de matricea A(e) = (a ij ):
unde ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n sunt coordonatele vectorului x din baza e. Să presupunem că această formă este redusă la forma canonică folosind o transformare de coordonate nedegenerată
unde λ 1 , λ 2 ,..., λ k sunt coeficienți canonici diferiti de zero numerotați astfel încât primul q dintre acești coeficienți să fie pozitivi, iar următorii coeficienți să fie negativi:
λ 1 > 0, λ 2 > 0, ..., λ q> 0, λq+1< 0, ..., λ k <0.
Luați în considerare următoarea transformare de coordonate nedegenerată μ i (este ușor de observat că determinantul acestei transformări este diferit de zero):
Ca rezultat al acestei transformări, forma A(x, x) va lua forma
numită forma normală a formei pătratice.
Deci, cu ajutorul unei transformări de coordonate nedegenerate ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n a vectorului x în baza e = (e 1 , e 2 ,..., e n )
(această transformare este produsul transformărilor lui ξ în μ și μ în η prin formulele (7.30)) forma pătratică poate fi redusă la forma normală (7.31).
Să demonstrăm următoarea afirmație.
Teorema 7.5 (legea inerției formelor pătratice). Numărul de termeni cu coeficienți pozitivi (negativi) în forma normală a unei forme pătratice nu depinde de modul în care forma este redusă la această formă.
Dovada. Fie ca forma A(x, x) să fie redusă la forma normală (7.31) cu ajutorul unei transformări de coordonate nedegenerate (7.32) și, cu ajutorul unei alte transformări de coordonate nedegenerate, să fie redusă la forma normală
Evident, pentru a demonstra teorema, este suficient să verificăm validitatea egalității p = q.
Fie p > q. Să verificăm că în acest caz există un vector nenul x astfel încât, în raport cu bazele în care forma A(x, x) are forma (7.31) și (7.33), coordonatele η 1 , η 2, ..., η q și ζ p+1, ..., ζ n din acest vector sunt egale cu zero:
η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η q = 0, ζ p+1 = 0, ..., ζ n = 0 (7,34)
Deoarece coordonatele η i obtinut prin transformarea nedegenerata (7.32) a coordonatelor ξ 1 , ..., ξ n , si a coordonatelor ζ i- cu ajutorul unei transformări similare nedegenerate a acelorași coordonate ξ 1 , ..., ξ n , atunci relațiile (7.34) pot fi considerate ca un sistem de ecuații liniare omogene față de coordonatele ξ 1 , .. ., ξ n al vectorului dorit x în baza e = ( e 1 , e 2 ,..., en ) (de exemplu, în formă extinsă, relația η 1 = 0 are, conform (7.32), formează un 11 ξ 1 + a 12 ξ 2 + a 1 n ξ n\u003d 0)- Deoarece р> q, atunci numărul de ecuații omogene (7.34) este mai mic decât n și, prin urmare, sistemul (7.34) are o soluție diferită de zero în raport cu coordonatele ξ 1, ..., ξ n a vectorului dorit x. Prin urmare, dacă p > q, atunci există un vector x diferit de zero pentru care relațiile (7.34) sunt valabile.
Calculați valoarea formei A(x, x) pentru acest vector x. Revenind la relațiile (7.31) și (7.33), obținem
Ultima egalitate poate avea loc numai în cazul η q+1 = ... = η k = 0 și ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ р = 0.
Astfel, în anumite baze, toate coordonatele ζ 1 , ζ 2 , ..., ζ n vectori nenuli x sunt egali cu zero (vezi ultimele egalități și relații (7.34)), adică. vectorul x este zero. Prin urmare, ipoteza p > q conduce la o contradicție. Prin considerații analoge, ipoteza p< q.
Deci p = q. Teorema a fost demonstrată.
2. Clasificarea formelor pătratice. În punctul 1 al §2 al acestui capitol (vezi Definiția 2) au fost introduse conceptele formelor pătratice definite pozitive, definite negative, variabile cu semn și cvasi-semn definite.
În această subsecțiune, folosind conceptele de indice de inerție, indici pozitivi și negativi de inerție ai pătratului unei forme, indicăm cum este posibil să aflăm dacă o formă pătratică aparține unuia sau altuia dintre tipurile enumerate mai sus. În acest caz, indicele de inerție al unei forme pătratice este numărul de coeficienți canonici non-zero ai acestei forme (adică rangul său), indicele de inerție pozitiv este numărul de coeficienți canonici pozitivi, iar indicele negativ de inerție este numărul de coeficienți canonici negativi. Este clar că suma indicilor de inerție pozitiv și negativ este egală cu indicele de inerție.
Deci, să fie indicele de inerție pozitiv și indici negativi inerţia formei pătratice A(x, x) sunt respectiv k, p şi q (k = p + q).În paragraful anterior s-a demonstrat că în orice bază canonică f = (f 1 , f 2 , . .., fn) această formă poate fi redusă la următoarea formă normală:
unde η 1 , η 2 , ..., η n sunt coordonatele vectorului x în baza f .
1°. Condiție necesară și suficientă pentru definiția semnului unei forme pătratice. Următoarea afirmație este adevărată.
Pentru ca forma pătratică A(x, x) dată în spațiul liniar n-dimensional L să fie definită de semn, este necesar și suficient ca fie indicele pozitiv de inerție p, fie indicele negativ de inerție q să fie egal cu dimensiunea n a spațiului L.
În plus, dacă p \u003d n, atunci forma este definită pozitivă, dar dacă q \u003d n, atunci forma este definitivă negativă.
Dovada. Întrucât cazurile de formă pozitiv-definită și de formă negativ-definită sunt tratate în mod similar, vom demonstra afirmația pentru formele pozitiv-definite.
1) Necesitatea. Fie forma A(x, x) definită pozitiv. Atunci expresia (7.35) ia forma
A (x, x) \u003d η 1 2 + η 2 2 + ... + η p 2.
Dacă în același timp r< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами
η 1 \u003d 0, η 2 \u003d 0, ..., η p \u003d 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0
forma A(x, x) dispare, iar aceasta contrazice definiția unei forme patratice definite pozitive. Prin urmare, p = n.
2) Suficiență. Fie p = n. Atunci relația (7.35) are forma А(х,х) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2 . Este clar că A(x, x) ≥ 0, în plus, dacă A = 0, atunci η 1 = η 2 = ... = η n= 0, adică vectorul x este zero. Prin urmare, A(x, x) este o formă definită pozitivă.
Cometariu. Pentru a clarifica problema semnificației unei forme pătratice cu ajutorul criteriului indicat, trebuie să reducem această formă la o formă canonică.
În subsecțiunea următoare, demonstrăm criteriul Sylvester pentru definiția semnului unei forme pătratice, cu ajutorul căruia se poate clarifica problema definiției semnului unei forme date în orice bază fără reducerea la forma canonică.
2°. O condiție necesară și suficientă pentru schimbarea semnului unei forme cuadratice. Să demonstrăm următoarea afirmație.
Pentru ca o formă pătratică să fie alternantă de semne, este necesar și suficient ca atât indicii de inerție pozitivi, cât și cei negativi ai acestei forme să fie nenuli.
Dovada. 1) Necesitatea. Deoarece forma alternantă ia atât valori pozitive, cât și negative, reprezentarea sa G.35) în formă normală trebuie să conțină atât termeni pozitivi, cât și negativi (altfel, această formă ar lua valori fie nenegative, fie nepozitive). Prin urmare, atât indicii de inerție pozitivi, cât și cei negativi sunt diferiti de zero.
2) Suficiență. Fie p ≠ 0 și q ≠ 0. Atunci pentru vectorul x 1 , cu coordonatele η 1 ≠ 0, ..., η p ≠ 0, η р+1 = 0, ..., η n = 0 avem A(x 1 x 1) > 0, iar pentru vectorul x 2 cu coordonatele η 1 = 0, ..., η p = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 avem A (x 2, x 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. Condiție necesară și suficientă pentru ca o formă pătratică să fie cvasi-semnată. Următoarea afirmație este adevărată.
Pentru ca forma A(x, x) să fie cvasi-definită, este necesar și suficient ca următoarele relații să fie valabile: fie p< n
,
q = 0, либо р = 0, q < n
.
Dovada. Considerăm cazul unei forme cvasidefinite pozitive. Cazul unei forme cvasidefinite negative este considerat în mod similar.
1) Necesitatea. Fie forma A(x, x) pozitiv cvasi-definită. Atunci, evident, q = 0 și p< n
(если бы р =
n
, то форма была бы положительно определенной),
2) Suficiență. Dacă p< n
, q = 0, то А(х, х)
≥ 0
и для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η
2 = 0,
..., η
р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0 avem A(x, x) = 0, i.e. A(x, x) este o formă definită de cvasi-semn pozitiv.
3. Criteriul lui Sylvester (James Joseph Sylvester (1814-1897) - matematician englez) al caracterului de semnificație al unei forme pătratice. Fie forma A(x, x) în baza e = (e 1 , e 2 ,..., e n ) să fie determinată de matricea A(e) = (a ij ):
lăsați-l să plece Δ 1 \u003d a 11, 
- minore unghiulare și determinant matriceal (а ij ). Următoarea afirmație este adevărată.
Teorema 7.6 (criteriul lui Sylvester). Pentru ca forma pătratică A(x, x) să fie definită pozitiv, este necesar și suficient ca inegalitățile Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0 să fie satisfăcute.
Pentru ca forma pătratică să fie definită negativă, este necesar și suficient ca semnele minorelor unghiulare să se alterneze, cu Δ 1< 0.
Dovada. 1) Necesitatea. Să demonstrăm mai întâi că din condiția de semnificație a formei pătratice A(x, x) rezultă că Δ i ≠ 0, i = 1, 2,..., n .
Să ne asigurăm că ipoteza Δ k= 0 duce la o contradicție - în această ipoteză, există un vector x diferit de zero pentru care A(x, x) = 0, care contrazice caracterul de semnificație al formei.
Deci fie Δ k= 0. Se consideră următorul sistem pătrat omogen de ecuații liniare:
Deoarece Δ k este determinantul acestui sistem și Δ k= 0, atunci sistemul are o soluție diferită de zero ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k (nu toate ξ i sunt egale cu 0). Înmulțim prima dintre ecuațiile (7.36) cu ξ 1 , a doua cu ξ 2 , ..., ultima cu ξ k și adunăm rapoartele rezultate. Drept urmare, obținem egalitatea 
, a cărei parte stângă este valoarea formei pătratice A(x, x) pentru un vector nenul x cu coordonate (ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k , 0, ..., 0 ) . Această valoare este egală cu zero, ceea ce contrazice caracterul de semnificație al formei.
Deci, am verificat că Δ i≠ 0, i = 1, 2,..., n . Prin urmare, putem aplica metoda Jacobi de reducere a formei A(x, x) la o sumă de pătrate (vezi Teorema 7.4) și putem folosi formulele (7.27) pentru coeficienții canonici λ i. Dacă A(x, x) este o formă definită pozitivă, atunci toți coeficienții canonici sunt pozitivi. Dar apoi din relațiile (7.27) rezultă că Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0. Dacă A(x, x) este o formă definită negativă, atunci toți coeficienții canonici sunt negativi. Dar apoi din formulele (7.27) rezultă că semnele minorilor unghiulari alternează, cu Δ 1< 0.
2) Suficiență. Fie condițiile impuse minorilor unghiulari Δ iîn formularea teoremei. Deoarece Δ i≠ 0, i = 1, 2,..., n , atunci forma A poate fi redusă la suma pătratelor prin metoda Jacobi (vezi Teorema 7.4), iar coeficienții canonici λ i poate fi găsită prin formulele (7.27). Dacă Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0, atunci relațiile (7.27) implică că toate λ i> 0, adică forma A(x, x) este definită pozitiv. Dacă semnele Δ i alternativ și Δ 1< 0, то из соотношений (7.27) следует,
что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.
Deasupra câmpului K (\displaystyle K)și e 1 , e 2 , … , e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\dots,e_(n))- baza in L (\displaystyle L).
- O formă pătratică este pozitivă definită dacă și numai dacă toate minorele unghiulare ale matricei sale sunt strict pozitive.
- O formă pătratică este negativă definită dacă și numai dacă semnele tuturor minorelor unghiulare ale matricei sale se alternează, ordinul 1 minor fiind negativ.
O formă biliniară care este polară față de o formă pătratică definită pozitivă satisface toate axiomele produsului scalar.
Vedere Canonică
caz real
În cazul când K = R (\displaystyle K=\mathbb (R) )(câmpul numerelor reale), pentru orice formă pătratică există o bază în care matricea sa este diagonală, iar forma în sine are vedere canonică(vedere normală):
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + xp 2 − xp + 1 2 − ⋯ − xp + q 2 , 0 ≤ p , q ≤ r , p + q = r , (∗) (\displaystyle Q(x) =x_(1)^(2)+\cdots +x_(p)^(2)-x_(p+1)^(2)-\cdots -x_(p+q)^(2),\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*))Unde r (\displaystyle r) este rangul formei pătratice. În cazul unei forme pătratice nedegenerate p + q = n (\displaystyle p+q=n), iar în cazul degeneratului - p+q<
n
{\displaystyle p+q
Pentru a reduce o formă pătratică la o formă canonică, se utilizează de obicei metoda Lagrange sau transformările ortogonale ale bazei, iar o formă pătratică dată poate fi redusă la o formă canonică nu într-unul, ci în mai multe moduri.
Număr q (\displaystyle q)(termeni negativi) se numește indicele de inerție forma pătratică dată și numărul p - q (\displaystyle p-q)(diferența dintre numărul de termeni pozitivi și negativi) se numește semnătură formă pătratică. Rețineți că uneori semnătura unei forme pătratice este o pereche (p, q) (\displaystyle (p,q)). Numerele p , q , p - q (\displaystyle p,q,p-q) sunt invarianți ai formei pătratice, i.e. nu depind de metoda reducerii sale la forma canonică ( Legea inerției lui Sylvester).
caz complex
În cazul când K = C (\displaystyle K=\mathbb (C) )(câmpul numerelor complexe), pentru orice formă pătratică există o bază în care forma are o formă canonică
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + xr 2 , (∗ ∗) (\displaystyle Q(x)=x_(1)^(2)+\cdots +x_(r)^(2),\qquad ( **))Unde r (\displaystyle r) este rangul formei pătratice. Astfel, în cazul complex (spre deosebire de cazul real), forma pătratică are un singur invariant - rangul, iar toate formele nedegenerate au aceeași formă canonică (suma pătratelor).
Deci, conform teoremei de reducere a formei pătratice, pentru orice formă pătratică \(A(x,x)\) există o bază canonică \(\(f_1, \, f_2, ..., f_n\)\), deci că pentru orice vector \(x\), \[ x=\sum _(k=1)^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _(k=1)^n \lambda _k \eta _k ^2. \] Deoarece \(A(x,x)\) are valoare reală, iar modificările noastre de bază includ, de asemenea, numai numere reale, concluzionăm că numerele \(\lambda _k\) sunt reale. Printre aceste numere sunt pozitive, negative și egale cu zero.
Definiție. Se numește numărul \(n_+\) al numerelor pozitive \(\lambda _k\). indicele pozitiv al formei pătratice \(A(x,x)\) , numărul \(n_-\) al numerelor negative \(\lambda _k\) se numește indice negativ al formei pătratice , se numește numărul \((n_++n_-)\). rangul formei pătratice . Dacă \(n_+=n\), se numește forma pătratică pozitiv .
În general, reducerea unei forme pătratice la o formă diagonală se realizează în mai multe moduri. Se pune întrebarea: numerele \(n_+\), \(n_-\) depind de alegerea unei baze în care forma pătrată este diagonală?
Teorema (Legea inerției formelor pătratice). Indicii pozitivi și negativi ai unei forme pătratice nu depind de modul în care aceasta poate fi redusă la forma canonică.
Să fie două baze canonice, \(\(f\)\), \(\(g\)\), astfel încât orice vector \(x\) poate fi reprezentat ca: \[ x=\sum_(k= 1) ^n\eta _kf_k=\sum _(m=1)^n\zeta _mg_m, \] unde \[ A(x,x)=\sum_(k=1)^n\lambda _k\eta _k^ 2= \sum _(m=1)^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Fie dintre \(\lambda _k\) primul \(p\) pozitiv, restul fie negativ, fie zero, dintre \(\mu_m\) primul \(s\) pozitiv , restul fie negativ, fie zero. Trebuie să demonstrăm că \(p=s\). Rescrie (71): \[ \sum_(k=1)^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _(m=s+1)^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_( k=p+1)^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _(m=1)^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] astfel încât toți termenii din ambele părți ale egalității sunt nenegative. Să presupunem că \(p\) și \(s\) nu sunt egale, de exemplu, \(p
Am demonstrat că indicii pozitivi coincid. În mod similar, se poate demonstra că și indicii negativi coincid. h.t.d.
1. Convertiți formele pătratice în suma pătratelor:
a) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);