6.2 Применение пределов в экономических расчетах
Сложные проценты
В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д.). Время - дискретная переменная. В некоторых случаях - в доказательствах и расчетах, связанных с непрерывными процессами, возникает необходимость в применении непрерывных процентов. Рассмотрим формулу сложных процентов:
S = P(1 + i) n . (6.16)
Здесь P - первоначальная сумма, i - ставка процентов (в виде десятичной дроби), S - сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n-го года. Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся по геометрической прогрессии. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов. В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется, а проценты в виде разности S - P называются дисконтом. Величину P, найденную дисконтированием S, называют современной, или приведенной, величиной S. Имеем:
P = Þ P = = 0.
Таким образом, при очень больших сроках платежа современная величина последнего будет крайне незначительна.
В практических финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм, т. е. наращения за бесконечно малые промежутки времени, применяются редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в количественном финансово-экономическом анализе сложных производственных и хозяйственных объектов и явлений, например, при выборе и обосновании инвестиционных решений. Необходимость в применении непрерывных наращений (или непрерывных процентов) определяется прежде всего тем, что многие экономические явления по своей природе непрерывны, поэтому аналитическое описание в виде непрерывных процессов более адекватно, чем на основе дискретных. Обобщим формулу сложных процентов для случая, когда проценты начисляются m раз в году:
S =P (1 + i/m) mn .
Наращенная сумма при дискретных процессах находится по этой формуле, здесь m - число периодов начисления в году, i - годовая или номинальная ставка. Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m ®¥ имеем:
`S = P (1 + i/m) mn = P ((1 + i/m) m) n .
Поскольку (1 + i/m) m = e i , то `S = P e in .
При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки - силу роста, которая характеризует относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени. При непрерывной капитализации процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей от первоначальной суммы, срока наращения и номинальной ставки процентов. Для того, чтобы отличить ставки непрерывных процентов от ставки дискретных процентов, обозначим первую через d, тогда `S = Pe .
Сила роста d представляет собой номинальную ставку процентов при m®¥. Множитель наращения рассчитывается с помощью ЭВМ или по таблицам функции.
Потоки платежей. Финансовая рента
Контракты, сделки, коммерческие и производственно-хозяйственные операции часто предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений. Отдельные элементы такого ряда, а иногда и сам ряд платежей в целом, называется потоком платежей. Члены потока платежей могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными (выплаты) величинами. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой. Ренты делятся на годовые и р-срочные, где р характеризует число выплат на протяжении года. Это дискретные ренты. В финансово-экономической практике встречаются и с последовательностями платежей, которые производятся так часто, что практически их можно рассматривать как непрерывные. Такие платежи описываются непрерывными рентами.
Пример 3.13. Пусть в конце каждого года в течение четырех лет в банк вносится по 1 млн. рублей, проценты начисляются в конце года, ставка - 5% годовых. В этом случае первый взнос обратится к концу срока ренты в величину 10 6 ´ 1,05 3 так как соответствующая сумма была на счете в течение 3 лет, второй взнос увеличится до 10 6 ´ 1,05 2 , так как был на счете 2 года. Последний взнос процентов не приносит. Таким образом, в конце срока ренты взносы с начисленными на них процентами представляют ряд чисел: 10 6 ´ 1,05 3 ; 10 6 ´ 1,05 2 ; 10 6 ´ 1,05; 10 6. Наращенная к концу срока ренты величина будет равна сумме членов этого ряда. Обобщим сказанное, выведем соответствующую формулу для наращенной суммы годовой ренты. Обозначим: S - наращенная сумма ренты, R - размер члена ренты, i - ставка процентов (десятичная дробь), n - срок ренты (число лет). Члены ренты будут приносить проценты в течение n - 1, n - 2,..., 2, 1 и 0 лет, а наращенная величина членов ренты составит
R (1 + i) n - 1 , R (1 + i) n - 2 ,..., R (1 + i), R.
Перепишем этот ряд в обратном порядке. Он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i) и первым членом R. Найдем сумму членов прогрессии. Получим: S = R´((1 + i) n - 1)/((1 + i) - 1) = = R´((1 + i) n - 1)/ i. Обозначим S n; i =((1 + i) n - 1)/ i и будем называть его коэффициентом наращения ренты. Если же проценты начисляются m раз в году, то S = R´((1 + i/m) mn - 1)/((1 + i/m) m - 1), где i - номинальная ставка процентов.
Величина a n; i =(1 - (1 + i) - n)/ i называется коэффициентом приведения ренты. Коэффициент приведения ренты при n ®¥ показывает, во сколько раз современная величина ренты больше ее члена:
A n; i = (1 - (1 + i) - n)/ i =1/i.
Пример 3.14. Под вечной рентой понимается последовательность платежей, число членов которой не ограничено - она выплачивается в течение бесконечного числа лет. Вечная рента не является чистой абстракцией - на практике это некоторые виды облигационных займов, оценка способности пенсионных фондов отвечать по своим обязательствам. Исходя из сущности вечной ренты можно полагать, что ее наращенная сумма равна бесконечно большой величине, что легко доказать по формуле: R´((1 + i) n - 1)/ i ® ¥ при n ® ¥.
Коэффициент приведения для вечной ренты a n; i ® 1/i, откуда A = R/i, т. е. современная величина зависит только от величины члена ренты и принятой ставки процентов.
Метод потенциалов. Однако на распределительном методе основаны некоторые другие способы решения задач, что и вызывает необходимость его изучения. 9. Метод потенциалов Решение транспортной задачи любым способом производится на макете. Макет для применения метода потенциалов имеет следующий вид. Основная часть макета выделена двойными линиями. Она содержит k×l клеток. Каждая...
Признакам следует выделить два основных вида игр, несущих наибольшую образовательную нагрузку, так как все остальные являются производными от них. Этими видами являются инновационные игры и ансамблевые игры. Имитационные или ролевые игры позволяют обучать персонал практически с нуля, в то время как два предыдущих вида больше связаны с развивающим обучением. Назначение деловых игр Деловая...
Из остальных факторов мало что удастся сделать. Когда я поступил в корпорацию "Крайслер", то взял с собой мои записные книжки из компании "Форд", в которых была отражена служебная карьера нескольких сот фордовских менеджеров. После увольнения я набросал подробный перечень того, что не хотел оставлять в кабинете. Эти записные книжки в черных переплетах, несомненно, принадлежали мне, но можно было...
Научн. картине мира, кот. дает естествознание. Необходимость применения естствено научных методов и законов в практической деят-ти гуманитарных специальностей и привело к постановке того курса, кот. мы будем изучать: Физика для гуманитариев. (38) Связь между разделами естествознания. Слово естествознание представляет из себя сочетание 2х слов: естество (природа) и знание. В настоящее время...
Все большую актуальность получают вопросы расчета и прогнозирования финансово-экономических показателей. В современных условиях финансовые математические модели представляют собой неотъемлемую и очень важную часть статистического анализа с целью выработки и принятия решений.
В финансово-экономических расчетах денежные потоки (сумма денег) всегда связываются с конкретными интервалами времени. В связи с этим в финансовых сделках (договорах, контрактах) обязательно даются фиксированные сроки, даты, периодичность выплат (или поступление денежных средств). В финансовой математике фактор времени учитывается с помощью исчисления (применения) процентной ставки, учитывающей интенсивность начисления процентов (процентных денег). Процентная ставка - это отношение суммы процентных денег, выплачиваемых за строго зафиксированный отрезок времени, к величине кредита, ссуды и т.д. Интервал времени, к которому приурочена процентная ставка, называется периодом начисления (накопления).
Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока действия кредита, ссуды. Такого рода проценты называются простыми процентными ставками. В этом случае распределение суммы накопления описывается равномерным линейным законом распределения, а сам процесс наращения может быть выражен в виде арифметической профессии:
FV=PV(1 +n * i) или FV=PV + I,
где FV - наращенная сумма;
PV - текущая (первоначальная) сумма;
n - количество периодов начислений;
i - ставка процентов;
i= PV * п * i - процентный доход за весь срок.
В некоторых случаях возможно применение дискретно изменяющихся во времени процентных ставок. Например, ставка простого процента в первый год равна 10%, во второй - 15%, в третий - 20%.
Когда периоды начисления (например, по годам) равны, то формула наращения по простым процентам имеет вид: FV=PV (1+n-i) m ,
где m - общее число операций реинвестирования.
В отечественной практике, как правило, не делают различий между понятиями ссудного (кредитного) процента и учетной ставки. Обычно применяют собирательный термин - процентная ставка. В то же время термин учетная ставка встречается применительно к ставке рефинансирования ЦБ РФ, а также к вексельным операциям.
Нужно подчеркнуть, что начисление процентов в большинстве случаев осуществляется в конце каждого периода (интервала) начисления. Такой способ определения и начисления процентов носит название декурсивного способа. В отдельных случаях в соответствии с заключенными договорами применяется антисипативный (предварительный) способ, т.е. проценты начисляются в начале каждого периода начисления.
В финансовых расчетах наиболее часто встречаются задачи по определению наращенной суммы FV по заданной (первоначальной) величине текущей стоимости ссуды (кредита) PV, а также текущей суммы (полученной) PV по заданной наращенной сумме FV. Первый тип задач называется компаудингом (процессом накопления), второй тип задач - дисконтированием. Разница величин текущей стоимости PV наращенной суммы FV называется дисконтом D k , т.е.D K = FV – PV.
Простые проценты могут быть точными, когда при расчете год берется равным фактической его продолжительности в днях, или обыкновенными, когда длительность года берется равной 360 дням. Принятое количество дней в году называется временной базой.
Cуществуют и такие понятия, как коммерческий (или банковский) учет, учет векселей, дисконтирование по учетной ставке (по простым процентам). В практике финансово-кредитных отношений простые учетные ставки применяются при учете векселей и других денежных обязательств. В зависимости от формы представления капитала и способа выплаты дохода ценные бумаги подразделяются на две группы: долговые (купонные облигации, сертификаты, векселя - имеющие фиксированную процентную ставку) и долевые (акции), представляющие долю держателя в реальной собственности и обеспечивающие получение дивиденда в неограниченное время. Все прочие виды ценных бумаг являются производными от долговых и долевых: это опционы, фьючерсные контракты, приватизационные чеки.
С целью избежания ошибок и потерь в условиях инфляции (снижения покупательной способности денег) нужно учитывать механизм влияния инфляции на результат финансовых операций. При расчетах используют относительную величину уровня инфляции, т.е. темп инфляции α: α=(PV α – PV)/PV или α= РV/PV*100
где α - темп инфляции;
PV α - сумма, отражающая фактическую покупательную способность (фактическую стоимость товара через период времени /);
PV - сумма при отсутствии инфляции;
РV= PV α – PV – сумма инфляционных денег.
Cущность простых процентов заключается в том, что они начисляются на одну и ту же величину капитала в течение всего срока ссуды (кредита).
В практике проведения финансовых расчетов дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день. При этом используют один из двух вариантов
1)точный процент получают, когда за временную базу берут фактическое число дней в году (365 или 366) и точное число дней ссуды:
где Nд- продолжительность начисления в годах;
Д - продолжительность периода начисления в днях;
К - продолжительность года в днях.
Точное число дней ссуды Д определяется по специальной таблице, где показаны порядковые номера каждого дня года (из номера, соответствующего дню окончания займа (ссуды), вычитают номер первого дня);
2)обыкновенный процент получают, когда применяется приблизительное число дней ссуды, а продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням. Этот метод применяется при погашении облигаций (займа). Наращенная сумма FVв этих случаях определяется из выражения
Определим ставку процентов, учитывающую инфляцию Iα, по формуле И. Фишера.
Беспалова Екатерина
Содержание работы соответствует заявленной теме и излагается в соответствии с удачно составленным планом. В разделе «Введение» определена тема, цели и задачи работы, а также перечислены методы исследования. Поставленные цели и задачи работы достаточно грамотно и убедительно подтверждаются материалами работы. Авторы успешно использовали такие методы, как анализ, синтез, сравнение. Материалы работы свидетельствуют о том, что исследователи внимательно изучили теоретический материал по данной теме, провели расчеты и сделали собственные выводы. Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Понимание процентов и умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни. В теоретической части проектной работы представлено всё, что необходимо знать о простых и сложных процентах: формулы, пояснения и расчеты по этим формулам. Хорошим дополнением работы является исследовательская часть, которая посвящена сравнительному анализу сложных и простых процентов, что показывает пригодность сложных процентов в банковской системе. Студентка самостоятельно провела исследование по вкладам физических лиц в различных банках, сделав обоснованный вывод о том, что сложные проценты играют большую роль в экономике и банковской системе. Материал может быть полезен преподавателям математики, экономики, обучающимся образовательных организаций.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Республики Хакасия «Техникум коммунального хозяйства и сервиса»
Тема проекта:
« Применение сложных процентов в экономических расчётах»
Научный руководитель: Чердынцева Л.А.
Студентка: Беспалова Екатерина Андреевна
Группа: ТТ-11
Абакан, 2016
Введение
Каждый день мы делаем одно и то же - мы живём, работаем, едим и спим, для нас это повседневная жизнь. Мы даже не замечаем, что многие термины связаны с повседневной жизнью. К примеру, экономика - это часть повседневной жизни. Люди принимают ежедневное участие в экономической деятельности, живут в экономической среде. В свою очередь никакая экономика не обходится без процентов. Проценты окружают нас везде.
А ведь проценты появились еще в древности у вавилонян. Денежные расчеты с процентами были распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам.
В настоящее время проценты применяются во всех экономических сферах деятельности: на предприятиях, в статистике, в банковской системе и т.д. Свою работу мы покажем на примере банков.
Почему именно банки? Банки находятся в центре экономической жизни, обслуживают интересы производителей, связывая денежным потоком промышленность и торговлю, сельское хозяйство и население. Во всем мире банки имеют значительную власть и влияние, они распоряжаются огромным денежным капиталом, стекающимся к ним от предприятий и фирм, от торговцев и фермеров, от государства и частных лиц.
Для чего человек несет свои сбережения в банк? Конечно же, чтобы обеспечить их сохранность, и самое главное - получить доходы. И вот здесь знание формулы простых или сложных процентов, а также умение составить предварительный расчет процентов по вкладу как никогда пригодится. Ведь прогнозирование процентов по вкладам или процентов по кредитам относится к одной из составляющих разумного управления своими финансами.
В этом и состоит актуальность темы.
Цель работы:
Исследование простых и сложных процентов в экономических расчётах.
Задачи:
Сравнить простые и сложные проценты по вкладам физических лиц.
Сравнить доход по вкладам физических лиц с применением формул сложного процента в зависимости от временного промежутка.
Провести анализ доходов по вкладам физических лиц в различных банках.
Проценты
Процент-это сумма, которую уплачивают за пользование денежными средствами.
Проценты делятся на простые и сложные
1) Простые проценты - проценты, которые начисляются на первоначальную сумму.
S - сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита (т.е. вклада).
I – годовая процентная ставка
t – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу
K – количество дней в календарном году (365 или 366)
P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств
Мы придумали задачу, чтобы вы увидели, как применяются простые проценты в банковских расчётах.
Задача 1.
В банк внесли вклад суммой 100000 руб., а через 5 лет на счете было 168000 руб. Определите процентную ставку банка, используя простые проценты.
Решение:
I= (168000-100000)*(365*100%)/100000*1825=13, 6%
Ответ: 13,6% ставка.
2) Сложные проценты – проценты, полученные на начисленные проценты.
I – годовая процентная ставка;
j – количество календарных дней в периоде, по итогам которого банк производит капитализацию начисленных процентов;
K – количество дней в календарном году (365 или 366);
P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств;
n - количество операций по капитализации начисленных процентов в течение общего срока привлечения денежных средств;
S - сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из суммы вклада с процентами.
А теперь так же решим задачу, но уже со сложными процентами
Задача 2.
В банк внесли вклад суммой 100000 руб. под 13.6%, на 5 лет. Начисление процентов – раз в год. Какую сумму денег снимет вкладчик со счёта по окончанию 5 лет?
Решение:
S= 100000* (1+ (13, 6%*365)/ 365*100%) 5 =100000*1, 1365=189187, 2 руб.
Ответ: 189187,2 руб.
Давайте сравним простые и сложные проценты, чтобы всё же понять, какая есть между ними разница:
Задача 3. В банк внесли вклад суммой 100000 руб. под 12% на 10 лет. Определить какая сумма денег будет через каждый год, используя простые и сложные проценты.
В таблице мы видим, что выгоднее использовать сложные проценты:
График роста капитала с применением простых и сложных процентов:
А теперь давайте сравним сложные проценты по вкладу в зависимости от временного промежутка.
Задача 4. В банк внесли вклад суммой 100000 руб. на 1 год под процентную ставку 12% годовых. Сравнить суммы, которые будут причитаться к возврату вкладчику при начислении процентов: ежедневном, еженедельном, ежемесячном, ежеквартальном, по полугодиям и ежегодном.
В таблице мы видим, чем чаще промежуток начисления процентов, тем больше доход мы получаем.
Изучая простые и сложные проценты, мы провели анализ в какой банк на данный момент лучше вложить деньги и почему.
За основу мы взяли три банка - это «Бинбанк», «Альфа-банк» и «ВТБ 24».
ВТБ 24 – вклад «Выгодный»
Альфа-банк – вклад «Победа»
Бинбанк – вклад «Максимальный доход»
Задача 5. Мы имеем 500000 руб. и выбираем в какой банк положить эту сумму для получения наибольшего дохода за 1 год.
На данный момент, лучше всего вносить вклад в «Альфа-банке»
Вывод:
Провели исследование простых и сложных процентов в экономических расчётах.
Сравнили простые и сложные проценты по вкладам физических лиц.
Сравнили доход по вкладам физических лиц с применением формул сложного процента в зависимости от временного промежутка.
Провели анализ доходов по вкладам физических лиц в различные банки
. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ И ИНТЕРНЕТ РЕСУРСОВ
1. Четыркин, Е. М. Финансовая математика / Е. М. Четыркин,
учебник. - 6-е изд., испр. - М. : Дело, 2006. - 399 с.2. Самаров, К. Л. Финансовая математика: Практ. курс: учеб.пособие / К. Л Самаров. - М. : Альфа-М; ИНФРА-М, 2006. - 78 с.
3. Финансовая математика: учебник для вузов / П. П. Бочаров. - 2-е изд. - М.: Физматлит, 2005. - 574 с.
4 Финансовая математика: учеб.-метод. комплекс / С. Г. Валеев. -Ульяновск: УлГТУ, 2005. - 106 с.
5. Финансовая математика. В. Малыхин: http://www.finansmat.ru/.
6. Финансовая математика. А. Федоров (лекции): http://wdw2005.narod.ru/FM_lec.htm#_Toc179997391.
7. Математическое Бюро: http://www.matburo.ru/index.php.
8. Финансовая математика (лекции):
http://treadwelltechnologies.com/index.html.
9. Финансовый анализ: http://www.finances-analysis.ru/financial- maths/.
10. Знания - в массы: http://www.finmath.ru/.
1 слайд
2 слайд
ВВЕДЕНИЕ 1. Актуальность 2. История происхождения. 3. Происхождения обозначения. 4. Правила набора. 5. Сравнение величин в процентах 6. Виды процентов. 7. Факторы, учитываемые в финансово-экономических расчетах. 8. Заключение.
3 слайд
Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчётов расширяется. Актуальность.
4 слайд
Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально переводится «за сотню», или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. История происхождения.
5 слайд
Знак % произошёл благодаря опечатке. В рукописях pro centum часто заменялось словом «cento» (сто) и писали сокращённо – cto. В 1685 году в Париже была напечатана книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto набрал %. Происхождения обозначения.
6 слайд
В тексте знак процента используется только при числах в цифровой форме, от которых при наборе отделяется неразрывным пробелом (доход 67 %), кроме случаев, когда знак процента используется для сокращённой записи сложных слов, образованных при помощи числительного и прилагательного процентный. Правила набора.
7 слайд
Иногда бывает удобным сравнивать две величины не по разности их значений, а в процентах. Сравнение величин в процентах
8 слайд
Различают простые и сложные виды процентов. При использовании простых процентов процент начисляется на первоначальную сумму вклада (кредита) на протяжении всего периода начисления. Виды процентов
9 слайд
Методы финансовой математики используются в расчетах параметров, характеристик и свойств инвестиционных операций и стратегий, параметров государственных и негосударственных займов, ссуд, кредитов, в расчетах амортизации, страховых взносов и премий, пенсионных начислений и выплат, при составлении планов погашения долга, оценке прибыльности финансовых сделок. Факторы, учитываемые в финансово-экономических расчетах.
Общеизвестна ситуация, что одна и та же сумма денег неравноценна в разные периоды времени. Учет временного фактора в финансовых операциях осуществляется путем начисления процентов.
Процентными деньгами (процентами) называют сумму доходов от предоставления денег в долг в любой форме (выдача ссуд, открытие депозитных счетов, покупка облигаций, сдача оборудования в аренду и т.п.).
Сумма процентных денег зависит от суммы долга, срока его выплаты и процентной ставки, характеризующей интенсивность
начисления процентов. Сумму долга с начисленными процентами называют наращенной суммой. Отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга называют множителем (коэффициентом) наращения. Интервал времени, за который начисляются проценты, называют периодом начисления.
При использовании простых ставок процентов сумма процентных денег определяется исходя из первоначальной суммы долга, независимо от количества периодов начисления и их длительности по формуле:
Приведенная формула используется для определения величины наращенной стоимости капитала при краткосрочных финансовых вложениях.
Если срок долга задается в днях, в приведенную формулу надо вставить выражение:
где 5 - продолжительность периода начисления в днях;
Количество дней в году можно брать точно - 365 или 366 (точные проценты) или приближенно - 360 дней (обыкновенные проценты). Количество дней в каждом целом месяце в течение срока долга также может браться точно или приближенно (30 дней). В мировой банковской практике использование:
 |
приближенного количества дней в каждом целом месяце и обыкновенных процентов называется «германской практикой»;
точного числа дней в каждом месяце и обыкновенных процентов - «французской практикой»;
точного числа дней и точных процентов - «английской практикой».
В зависимости от использования конкретной практики начисления процентов их сумма будет различаться.
Рассмотрим примеры финансово-экономических расчетов по ценным бумагам.
Пример 7.1.
Сберегательный сертификат номиналом 200 тыс. руб. выдан 20.01.2005г. с погашением 05.10.2005г. под 7,5% годовых.
Определить сумму начисленных процентов и цену погашения сертификата при использовании различных способов начисления процентов.
Определим точное и приближенное количество дней до погашения сертификата.
tT04H = 11 дней января + 28 дней февраля + 31 день марта + 30 дней апреля + 31 день мая + 30 дней июня + 31 день июля + 31 день августа + 30 дней сентября + 5 дней октября = 258 дней.
Іприбл = 11 дней января + 30 х 8 дней (февраль - сентябрь) + 5 дней октября = 256 дней.
По сертификатам доход начисляется по процентной ставке. Применим три способа расчета процентов:
1) проценты точные, срок займа - точное число дней:
Іточн = 0,075 х 200 х 258/365 = 10,6 тыс. руб.; цена погашения сертификата:
51 = 200 + 10,6 = 210,6 тыс. руб.;
2) проценты обыкновенные, срок займа - точное число дней, цена погашения сертификата:
52 = 200 + 10,8 = 210,8 тыс. руб.;
3) проценты обыкновенные, срок займа - приближенное число
Іобьікн = 0,075 х 200 х 256/360 = 10,7 тыс. руб., цена погашения сертификата:
53 = 200 + 10,7 = 210,7 тыс. руб.
Пример 7.2.
Банк принимает депозиты на 3 месяца по ставке 4% годовых, на 6 месяцев по ставке 10% годовых и на год по ставке 12% годовых. Определить сумму, которую получит владелец депозита 50 тыс. руб. во всех трех случаях.
Сумма депозита с процентами составит:
1) при сроке 3 месяца:
S = 50 х (1 + 0,25 х 0,04) = 50,5 тыс. руб.;
2) при сроке 6 месяцев:
S = 50 х (1 + 0,5 х 0,1) = 52,5 тыс. руб.;
3) при сроке 1 год:
S = 50 х (1 + 1 х 0,12) = 56 тыс. руб.
При принятии решения о размещении средств в банке немаловажным фактором является соотношение ставки процента и уровня инфляции. Уровень инфляции показывает, на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период времени, и определяется как:
Индекс инфляции показывает, во сколько раз выросли цены за рассматриваемый период. Уровень инфляции и индекс инфляции за один и тот же период связаны соотношением:
где Ju - индекс инфляции за период;
N - количество периодов в течение рассматриваемого срока.
Уровень инфляции за период.
Пример 7.3.
Определить ожидаемый годовой уровень инфляции при уровне инфляции за месяц в 6 и 12%.
Ju = (1 + 0,06)12 = 2,01.
Следовательно, ожидаемый годовой уровень инфляции будет равен = 2,01 - 1 = 1,01, или 101%.
Ju = (1 + 0,12)12 = 3,9.
Ожидаемый уровень инфляции будет равен:
3,9 - 1 = 2,9, или 290%.
Инфляция влияет на доходность финансовых операций.
Реальное значение наращенной суммы с процентами за предельный срок, приведенное к моменту предоставления денег в долг, составит:
 |
Пример 7.4.
Банк принимает депозиты на полгода по ставке 9% годовых. Определить реальные результаты вкладной операции для вклада 1000 тыс. руб. при месячном уровне инфляции 8%.
Сумма вклада с процентами составит:
S = 1 х (1 + 0,5 х 0,09) = 1045 тыс. руб.
Индекс инфляции за срок хранения депозита равен:
Ju = (1 + 0,08)6 = 1,59.
Наращенная сумма с учетом инфляции будет соответствовать сумме:
1045/1,59 = 657 тыс. руб.
При использовании сложных ставок процентов процентные деньги, начисленные после первого периода начисления, являющегося частью общего срока долга, присоединяются к сумме долга. Во втором периоде начисления проценты будут начисляться исходя из первоначальной суммы долга, увеличенной на сумму процентов, начисленных после первого периода начисления, и так далее на каждом последующем периоде начисления. Если сложные проценты начисляются по постоянной ставке и все периоды начисления имеют одинаковую длительность, то наращенная сумма будет равна:
 |
где P - первоначальная сумма долга;
in - ставка процентов в периоде начисления;
п - количество периодов начисления в течение срока.
Пример 7.5.
Депозит 50 тыс. руб. положен в банк на 3 года с начислением сложных процентов по ставке 8% годовых. Определить сумму начисленных процентов.
Сумма депозита с начисленными процентами будет равна:
S = 50 х (1 + 0,08)3 = 63 тыс. руб.
Сумма начисленных процентов составит:
I = S - Р = 63 - 50 = 13 тыс. руб.
Если бы проценты начислялись по простой ставке 8% годовых, сумма их составила бы:
I = 3 х 0,08 х 50 = 12 тыс. руб.
Таким образом, начисление процентов по сложной ставке дает большую сумму процентных денег.
Сложные проценты могут начисляться несколько раз в году. При этом годовую ставку процентов, исходя из которой определяется величина процентов в каждом периоде начисления, называют
номинальной годовой ставкой процентов. При сроке долга п лет и начислении сложных процентов m раз в году общее количество периодов начисления будет равно:
Наращенная сумма будет равна:
1) срок долга:
Пример 7.6.
Вкладчик вносит депозит 40 тыс. руб. на 2 года под номинальную ставку 40% годовых при ежемесячном начислении и капитализации процентов. Определить наращенную сумму и величину начисленных процентов.
Количество периодов начисления равно:
Следовательно, наращенная сумма составит:
Вексель или другое денежное обязательство до наступления срока платежа по нему могут быть куплены банком по цене, меньше суммы, которая должна быть выплачена по ним в конце срока, или, как принято говорить, учтены банком с дисконтом. Предъявитель обязательства при этом получает деньги ранее указанного в нем срока за вычетом дохода
банка в виде дисконта. Банк при наступлении срока оплаты векселя или иного обязательства получает полностью указанную в нем сумму.
Если срок от момента учета до момента погашения обязательства будет составлять некоторую часть года, дисконт будет равен.