В статистике коэффициент корреляции (англ. Correlation Coefficient ) используется для проверки гипотезы о существовании зависимости между двумя случайными величинами, а также позволяет оценить ее силу. В портфельной теории этот показатель, как правило, используется для определения характера и силы зависимости между доходностью ценной бумаги (актива) и доходностью портфеля . Если распределение этих переменных является нормальным или близким к нормальному, то следует использовать коэффициент корреляции Пирсона , который рассчитывается по следующей формуле:
Среднеквадратическое отклонение доходности акций Компании А составит 0,6398, акций Компании Б 0,5241 и портфеля 0,5668. (О том, как рассчитывается среднеквадратическое отклонение можно прочитать )
Коэффициент корреляции доходности акций Компании А и доходности портфеля составит -0,864, а акций Компании Б 0,816.
R A = -0,313/(0,6389*0,5668) = -0,864
R Б = 0,242/(0,5241*0,5668) = 0,816
Можно сделать вывод о присутствии достаточно сильной взаимосвязи между доходностью портфеля и доходностью акций Компании А и Компании Б. При этом, доходность акций Компании А демонстрирует разнонаправленное движение с доходностью портфеля, а доходность акций Компании Б однонаправленное движение.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА
Коэффициент корреляции
является простым и в то же время достаточно надежным индикатором наличия зависимости между отдельными явлениями. Корреляционный анализ нашел широкое применение в исследованиях по экономике, социологии и другим дисциплинам.
Для расчета коэффициента корреляции
достаточно собрать количественную статистику, характеризующую динамику двух показателей, один из которых является базовым, а другой - зависимым от первого. Имея два ряда данных, состоящих, желательно, из не менее 15-20 членов, можно рассчитать коэффициент корреляции по формуле
r = (nSxy - SySx)/Г--[(nS---y?2 - ---(Sy)2)---(nSx2--- - (Sx)--2)],
где n - количество значений в выборке; x - значение из первого ряда (изменяется от 1 до n); y - значение из второго ряда (изменяется от 1 до n).
В компьютерных программах типа Excel функция корреляции входит в набор статистических функций.
Коэффициент корреляции может изменяться в диапазоне от -1 до +1; положительное значение коэффициента означает, что между исследуемыми показателями существует прямая зависимость, отрицательное значение отражает обратную зависимость; значение по модулю больше 0,7 говорит о наличии ярко выраженной зависимости между показателями, от 0,4 до 0,7 - слабо выраженной взаимосвязи, менее 0,4 - об ее отсутствии.
В то же время следует отметить, что градация является приблизительной и чем больше выборка показателей, на основе которой рассчитывается коэффициент корреляции, тем меньшее значение коэффициента достаточно для определения зависимости. Например, значение коэффициента корреляции 0,3, рассчитанное для выборки из 60 данных, свидетельствует о наличии ненулевой зависимости, в то время как коэффициент для рядов из 12 членов не дает основания для такого вывода даже при значении 0,5.
Для проверки значимости расчетного коэффициента корреляции можно выполнить так называемый t-тест.
Первый шаг теста состоит в вычислении t-статистики
t = rГ--(n ---- 2)/(1 --- r2),
где r - коэффициент корреляции; n - количество значений в ряде данных.
Второй шаг состоит в сравнении t-статистики с табличным значением. Для уровня значимости в 5% критические значения t-статистики составляют следующие значения (табл. 1). Если расчетное значение t-статистики меньше критического, то гипотеза о наличии взаимосвязи между исследуемыми показателями отвергается.
КОРРЕЛЯЦИЯ МЕЖДУ ФОНДОВЫМИ ИНДЕКСАМИ
Корреляционный анализ часто применяется для оценки взаимосвязей между мировыми фондовыми рынками. Развитию исследований в этой области способствуют, с одной стороны, наличие количественной статистики, характеризующей динамику конъюнктуры рынков в виде фондовых индексов, с другой стороны - высокая практическая ценность результатов исследований.
Можно привести примеры достаточно интересных работ ученых, работающих под эгидой Всемирного банка и МВФ:
В этой работе Мэт Притскер рассматривает причины взаимосвязей финансовых рынков, выражающихся в том числе и через корреляцию фондовых индексов.
На основе анализа статистических данных по финансовым рынкам Бразилии и России авторы пришли к выводу, что финансовый кризис в Бразилии был усугублен, но не вызван российским дефолтом. Также они отметили существование значимой корреляции между российским и бразильским финансовыми рынками, которая особенно сильно проявляется на рынке еврооблигаций.
В этой работе уделено внимание теоретическим аспектам изучения проблемы финансовой инфекции. Авторы формулируют термин как. Подробно рассматривается проблема гетероскедастичности, возникающая при анализе динамики корреляции.
Практическое применение коэффициента корреляции
между фондовыми индексами может быть различным. Сравнительный анализ коэффициентов корреляции национального индекса с зарубежными дает представление о степени влияния отдельных мировых рынков на местный рынок акций. На основе полученных данных можно строить работу по изучению мировых рынков; другое возможное применение заключается в отслеживании динамики коэффициента корреляции между местным и заданным зарубежным индексом: значительное снижение коэффициента дает сигнал об ослаблении взаимосвязи, и, наоборот, неожиданное повышение сигнализирует о том, что следует более пристально отслеживать конъюнктуру соответствующего фондового рынка. Нужно обратить внимание на определенные особенности, связанные с измерением корреляции между индексами:
Подробное обоснование проблемы и возможности ее разрешения можно найти в работе К. Форбса и
Р. Ригобона. По мнению ученых, для анализа динамики нужно рассчитывать модифицированный коэффициент корреляции
rмод. = r/Г--(1 +--- dt(1 --- r)2),
где dt - отношение стандартного отклонения доходности фондового индекса в период t к стандартному отклонению доходности за весь анализируемый период.
ПРИЧИНЫ КОРРЕЛЯЦИИ ФОНДОВЫХ ИНДЕКСОВ
Почему фондовые рынки различных стран часто движутся в одном направлении? Этот вопрос достаточно подробно рассматривался экономистами международных финансовых организаций. С учетом причин, указываемых в исследованиях западных специалистов и на основе собственного опыта автора, можно представить следующую классификацию причин корреляции:
Фундаментальные межгосударственные связи
Психологические взаимосвязи
. Инвестиционные решения принимают живые люди, поэтому вряд ли можно избежать проявлений среди участников фондовых рынков. Кроме того, подобное поведение - не столь уж иррационально: результаты тех, кто следует за большинством, нередко соответствуют динамике индексных портфелей.
КОРРЕЛЯЦИЯ ИНДЕКСА РТС С МИРОВЫМИ ИНДЕКСАМИ
Особенность России заключается в относительной независимости нашей экономики от внешних факторов. Хотя макроэкономическая конъюнктура в странах Азии, Европы и Латинской Америки косвенно влияет (через спрос) на сырьевые и энергоресурсы, можно однозначно сказать, что уровень внешнеэкономических и финансовых связей между Россией и США гораздо ниже, чем, скажем, Латинской Америки и США (табл. 2). В то же время, на взаимосвязи фондовых рынков существенное влияние оказывают психологические факторы, связанные с поведением инвесторов на фондовых рынках.
| Страна | Фондовый индекс | Коэффициент корреляции |
| Латинская Америка | ||
|
Аргентина |
MerVal | 0,50 |
|
Бразилия |
Bovespa | 0,64 |
| IPC | 0,51 | |
| IPSA | 0,52 | |
| США | ||
| S&P 500 | 0,56 | |
| NASDAQ Composite | 0,36 | |
| Западная Европа | ||
|
Великобритания |
FTSE 100 | 0,65 |
|
Германия |
DAX | 0,50 |
|
Нидерланды |
AEX General | 0,46 |
| CAC 40 | 0,50 | |
| BSE 30 | 0,10 | |
| Shanghai Composite | 0,25 | |
| Nikkei 225 | 0,51 | |
| Справочно: | ||
|
t-критическое (уровень значимости 5%) |
0,33 | |
|
t-критическое (уровень значимости 1%) |
0,43 | |
Традиционно индекс РТС показывает максимальную корреляцию с бразильским фондовым индексом Bovespa, только на 2-м месте идут западноевропейские индексы, и, наконец, на 3-м месте по значимости - корреляция с американскими индексами S&P и NASDAQ.
Причины высокой корреляции с индексом Bovespa в основном лежат в области психологии: между нашими странами можно провести параллели в экономико-географическом положении, истории экономического развития и становления финансовых рынков. Все это приводит к тому, что, несмотря на отсутствие серьезных внешнеэкономических связей, часть крупных западных инвесторов применяет одну и ту же инвестиционную стратегию в отношении наших стран.
Корреляция с европейскими индексами выглядит обоснованной, учитывая тот факт, что Западная Евро-па - основной торговый партнер России.
Корреляция с американскими индексами, по-видимому, объясняется в равной степени экономическими и психологическими факторами: с одной стороны, состояние крупнейшего в мире фондового рынка - действительно важный фактор влияния на мировую финансовую систему, с другой стороны, многие российские трейдеры, играющие на краткосрочных колебаниях котировок, ориентируются на динамику американских фьючерсов без каких-либо дополнительных оснований.
РЕЗЮМЕ
В контексте анализа динамики корреляционных взаимосвязей, часто можно услышать мнение о том, что зависимость российского фондового рынка от внешних факторов постепенно снижается. Рисунок иллюстрирует реальное состояние дел.
В ноябре и декабре 2000 г. корреляция фондовых индексов РТС и S&P500 была очень высокой: наш индекс отслеживал до 70-80% дневных колебаний американского рынка.
В январе 2001 г. корреляция оказалась отрицательной: инвесторы посчитали, что котировки российских необоснованно упали вслед за американскими акциями. Однако после одного месяца корреляция восстановилась до 0,5-0,55 в феврале-марте и до 0,77 в апреле.
Таким образом, пока мы наблюдаем лишь краткосрочные колебания коэффициента корреляции, не нарушающие общую тенденцию постепенного увеличения зависимости от американского рынка.
Лишь в длительной перспективе, когда инвесторы в российские начнут уделять большее внимание корпоративным новостям, а не сводкам с зарубежных фондовых бирж, корреляция с мировыми индексами снизится. В качестве примера можно привести Индию, где, несмотря на наличие развитого фондового рынка, местный индекс лишь незначительно коррелирует с S&P500 и NASDAQ.
Движутся в одинаковых направлениях? Например, пара NZD/USD в большинстве случаев повторяет траекторию движения пары AUD/USD. Это явление называется «корреляция ».
Итак, валютная корреляция – мера взаимной зависимости двух валютных пар. Коэффициент корреляции представляется в десятичном формате и варьируется в диапазоне от +1.0 до -1.0.
- Корреляция +1 (положительная, прямая) означает, что две валютные пары 100% времени движутся в одном направлении.
- Корреляция -1 (отрицательная, обратная) , наоборот, означает, что две пары 100% времени движутся в противоположных направлениях.
- Нулевая корреляция означает , что две пары никак не зависят друг от друга.
Наиболее яркими примерами пар, имеющих прямую корреляцию, являются EUR/USD и GBP/USD, AUD/USD и NZD/USD, USD/CHF и USD/JPY.
Хорошими примерами обратно коррелирующих пар могут послужить EUR/USD и USD/CHF, GBP/USD и USD/JPY, USD/CAD и AUD/USD, USD/JPY и AUD/USD.
Как применять валютную корреляцию в торговле?
Понимание валютных корреляций позволит Вам избежать опасных ошибок в принятии торговых решений. Особенно высоко значение корреляции в среднесрочной и долгосрочной торговле.
Например, нужно понимать, что однонаправленные позиции по положительно коррелирующим парам увеличивают величину потенциальных убытков. Например, мы знаем, что пары EUR/USD и GBP/USD традиционно имеют сильную прямую корреляцию. Это означает, что одновременная покупка EUR/USD и GBP/USD, фактически, удваивает ваш риск. Если ваши ожидания не оправдались и евро дешевеет против доллара США, фунт, скорее всего, последует вниз за евро.
Аналогичная ситуация возникает при открытии разнонаправленных позиций по двум парам с обратной корреляцией (например, одновременная покупка EUR/USD и продажа USD/CHF).
Кроме того, одновременная разнонаправленная торговля по двум коррелирующим парам не имеет большого смысла — у вас фактически отсутствует позиция. Например, покупка EUR/USD и продажа GBP/USD в одно и то же время контрпродуктивна. Любое движение рынка повышает вашу прибыль по одной паре, но понижает – по другой. В итоге, вы можете закрыться в убытке из-за разницы в пипсовых стоимостях. То же самое относится к однонаправленным позициям по обратнокоррелирующим парам (например, одновременная покупка EUR/USD и USD/CHF).
Давайте представим, что пара EUR/USD тестирует важный . Перед покупкой евро на пробое мы бы рекомендовали посмотреть, как в это время ведут себя другие долларовые пары. Если доллар слабеет против большинства основных валют, можно предположить, что текущий пробой по EUR – не ложный.
Корреляция валют и цен на сырье
Валютный рынок тесно взаимодействует с другими финансовыми рынками. Если вы торгуете валютами стран-экспортеров сырья, внимательно изучите факторы, влияющие на цену «профильного» ресурса этой страны и постарайтесь составить по нему свои прогнозы.
Рассмотрим пример австралийского доллара (AUD). Ключевыми статьями австралийского экспорта являются железная руда, молочная продукция и золото, поэтому состояние экономики и курс национальной валюты напрямую зависят от рыночных цен на эти товары. укрепляется, когда растут цены на эти товары, и наоборот, снижается, когда цены падают.
Как видно из графиков, между ценой на золото и парой AUD/USD действительно присутствует долгосрочная положительная корреляция. Однако в краткосрочных периодах корреляция может снижаться. Например, резкая распродажа на американском рынке акций, как правильно, ослабляет привязку курса AUD/USD к золоту.
Другой хороший пример корреляции валют с сырьевыми ресурсами – канадский доллар (CAD) и нефть. Канада — крупнейший поставщик нефти в США, поэтому при росте мировых цен на нефть стоит задуматься о долгосрочных покупках канадца.
Корреляция курса валют и рынка акций
Рост фондового рынка, как правило, сопровождается укреплением национальной валюты, однако есть и частные случаи. Например, корреляция между S&P500 и долларом США (USD) не является постоянной . С одной стороны, дешевый доллар является позитивным фактором для американского рынка акций: конкурентоспособность американских товаров на мировых рынках возрастает, что приводит к росту прибыли компаний и, соответственно, их акций. Вот почему запуск программы количественного смягчения (QE) в США поднял фондовые индексы на рекордные высоты. Однако помимо валютного курса на динамику американских акций влияет множество других, локальных и глобальных факторов. Курс доллара и фондовые индексы США, как правило, являются отражением глубинных экономических процессов.
В декабре 2013 г. американский Федрезерв анонсировал постепенный выход из программы QE, а также возможное повышение ставок в начале 2015 г. Существуют опасения, что ужесточение монетарной политики может вызвать обвал на рынке акций, так как сократится объем дешевой ликвидности на рынке. Между тем, доллар США может укрепиться. Несмотря на это, многие экономисты не склонны рассматривать сворачивание QE и повышение ставок как однозначно негативный фактор. Сокращение объемов монетарного стимулирования сигнализирует о выходе крупнейшей экономики мира их кризиса, а значит, является позитивным сигналом для рынков капитала. Кроме того, власти США сворачивают QE постепенно, принимая решения на основе динамики экономических индикаторов. Существует высокая вероятность, что в ближайшие месяцы сохранится слабая позитивная корреляция курса доллара и фондовых индексов .
Японская иена и фондовый индекс Nikkei 225 – другой любопытный пример меняющейся корреляции. До 2005 года иена и Nikkei сохраняли позитивную корреляцию, однако затем она изменилась на негативную. Этот парадокс объясняется тем, что в 2005-2007 гг. в Японии были исключительно низкие процентные ставки, что сделало иену основной валютой фондирования в операциях « » (заимствование средств в валюте государства установившего низкие процентные ставки, конвертация и инвестирование их в валюте государств, установивших высокие процентные ставки). Иена снижалась на фоне обилия подобных операций (т.е. пара USD/JPY укреплялась). Дешевая национальная валюта была выгодна японским экспортерам – в результате, индекс Nikkei тоже рос.
Такая ситуация сохранялась вплоть до начала мирового экономического кризиса в 2008 г. В это напряженное время инвесторы принялись избавляться от рисковых активов, а покупали «надежную» иену. В результате, JPY выросла, что негативно отразилось на прибылях японских экспортеров и, соответственно, на индексе Nikkei.
В 2012 году Банк Японии избрал стратегию активной борьбы с дефляцией, в основе которой лежит снижение стоимости национальной валюты. Резкое падение иены привело к подъему на японских фондовых площадках. Таким образом, мы видим, что обратная зависимость между иеной и Nikkei сохраняется и сегодня.
Корреляция JPY и Nikkei 225
Поведение цен акций зависит от множества параметров. Наи- более притягательным для анализа, в силу своей простоты, является согласованное поведение цен или индексов. Наличие такого рода согласованности в поведении невозможно отри- цать и оно проявляется во множестве примеров. Так, цены акций многих российских компаний изменяются «с оглядкой» на поведение других акций. Например, несмотря на значительные отличия в динамике, легко усмотреть элементы согласованности поведения акций Газпрома, Сбербанка – наиболее ликвидных бумаг российского фондового рынка. Такого рода согласованность поведения не кажется странной с учетом вовлеченности акций в динамику финансовых пото- ков, направляющихся на фондовый рынок. Хотя с точки зрения анализа финансов отдельно взятой компании может показаться, что динамика цен акций компаний из различных секторов экономики должна быть независимой. Рис. 2, 3 На длительном периоде согласованность поведения цен акций и индексов проявляется наиболее ярко. Степень согласован- ности поведения различных кривых можно оценивать с помощью коэффициента корреляции. Определенные на годовом интервале коэффициенты корреляции поведения цен акций Сбербанка с индексом ММВБ изменяются со временем, зачастую приближаясь к единице, при которой поведение двух кривых близко к полной согласованности. В случае с ценами акций Сбербанка и индексом ММВБ можно легко найти объяснение подобной связанности. В других случаях связь не столь очевидна, пусть даже определяемые эмпириче- ски коэффициенты корреляции систематически превышают значения, которые могли бы получаться для пар независимых величин. С использованием коэффициента корреляции можно пытаться строить регрессионные зависимости, оценивать динамику активов по величине и изменению других связан- ных величин. Однако в таких оценках имеется ряд серьезных трудностей, что иногда заставляет делать ложные выводы о бесполезности такого рода связности. Тем не менее, исполь- зование коэффициентов корреляции может быть полезным для анализа динамики цен акций и индексов. Более того, указанные коэффициенты могут быть существенным элементом торговых систем, но при их использовании важно помнить о наиболее важных ограничениях.
1. Коэффициент корреляции это лишь одна характеристика из множества параметров и не нужно переоценивать его значения
Приходящие с биржевых терминалов потоки ценовой информации указывают на наличие как хаотичного случайного компонента в поведении цен, так и неко- торой их согласованности с ценами других активов. Математическая статистика позволяет выявить эле- менты связности поведения временных рядов. Для этого можно проводить анализ Фурье или оценивать другие параметры. Наиболее удобным и простым является коэффициент регрессии (корреляции) К. Он часто используется для анализа степени связанности двух временных рядов. Этот коэффициент может быть определен для любых двух совокупностей (в том числе случайных) величин Xi и Yi, где i пробега- ет значения от 1 до n. По выборке длиной n можно определить эмпирической коэффициент корреляции, который определяется по следующей формуле:
K= , где Mx и Му – оценки математического ожидания случайных ве- личин {X} и {Y}, а – величины их среднеквадратичных отклонений. К изменяется в пределах (-1, 1).
Коэффициент корреляции оказывается равным едини- це для наборов двух величин X(ti) и Y(ti), значения которых синфазно изменяются со временем, таких как обозначенные буквами А и В синусоиды на рисунке 4. На серии рисунков 5 эти наборы зависимостей X(ti) и Y(ti) представлены в координатах (Х и У). Для проти- вофазных колебаний (кривые А и D) коэффициент корреляции равен -1. При смещении фазы одного из процессов коэффициент корреляции уменьшается, чтобы стать близким к нулю для ортогональных коле- баний sin(t) и cos(t) (кривые А и C). Аналогично, нулевую корреляцию обнаружим у колебаний с отли- чающимися в два раза периодами колебаний sin(t) sin(2t) (Кривые А и F). Коэффициент корреляции уменьшается и за счет «зашумления» колебаний двух разных процессов. Так, для синхронно колеблющихся кривых G и H, в которых имеется случайный шум, рассчитанный коэффициент корреляции оказывается уже меньшим единицы. Чаще именно подобное зашумленное поведение наблюдается для цен различных активов. Корреляция набора чисто случайных чисел Yi с любой зависимостью X(ti) будет стремиться к нулю по мере роста выборки, а «график» пар чисел X(ti) и Yi не будет давать даже намеков на зависимость, как это изображено на последнем графике для «зависимости» пар чисел Xi и Yi, где Xi бралось с верхней синусоидальной кривой А, а Yi считывалось с кривой I, представляющей собой набор равномерно распределенных случайных чисел.
2. Следует помнить о возможной точности определения корреляции
В рыночных зависимостях кроме детерминированных компо- нент, которые приводят к часто наблюдаемой связанности их поведения, присутствуют также другие слагаемые, которые можно трактовать как «число случайные». Случайные слагае- мые тоже дают вклад в определяемый коэффициент корреляции К. Так, при расчете К для конечной выборки раз- мером N между двумя наборами Xi и Yi случайных величин, равномерно распределенных на интервале (0-1), тоже будут получаться отличные от нуля значения. Значение Кj(250) (для выборки размером 250 пар) будет зависеть от номера j самой выборки. Коэффициент корреляции К будет случайной вели- чиной, реализации которого Kj согласно закону больших чисел оказываются распределенными по нормальному закону. На представленном рисунке видим, как изменялись коэффициен- ты корреляций Кj(250) между выборками по 250 пар случайных величин для тысячи реализаций (j=1,2,3…1000). Среднеквадратичное отклонение?? случайной величины К (250) близко к 0,062, а значит, что в 77% случаев эмпирическое значение коэффициента корреляции Кj(250) для 250 пар случайных величин будет находиться в пределах ±2??. (Ли- нии ±0,124 приведены на рисунке). А за пределы 3*?? (±0,186) случайная величина Кj(250) будет выходить только в 1,35% случаев. Таким образом, значе- ние К(250) для набора 250 пар чисел, большее по модулю 0,2, скорее всего, не может быть связанным со случайными обстоятельствами, и для временных рядов с К>0,2 приходится отбрасывать идею об их случайном изменении и можно ис- кать возможные причины их коррелированного поведения. Для нормально распределения Kj(N) величина?? обратно пропорциональна квадратному корню из размера выборки N. Поэтому для выборки размером в 1000 пар случайных чисел?? уменьшится в два раза по сравнению с выборкой из 250 пар случайных чисел, а выборки меньшей в четыре раза, размером в 62 пары точек??, напротив, вырастет в два раза. Если считать, что в цене акций имеется заданный детерминированный компонент и случайное слагаемое, то увеличивая объем выборки можно уменьшить добавку в коэффициент корреляции, которая возникает за счет случайного слагаемого. В случае временного ряда, для сниже- ния вклада случайных компонентов нужно увеличивать период, с которого берутся используемые точки. Однако слишком увеличивать период исследования тоже нельзя, поскольку на большом интервале вполне может изменяться характер согласованности кривых. Понятно, что с помощью коэффициента корреляции оценивается только среднее значение корреляции за период. Поэтому в качестве окна изучения чаще всего используют годовой интервал, дающий с учетом выходных и праздничных нера- бочих дней около 250 дневных цен закрытия. Выбирая годовой интервал, следует помнить, что в полученном коэффициенте корреляции К(250) могут давать вклад случайные компоненты цены, величина которого на выборке в 250 точек легко может составлять ±0,1, а в отдельных (пусть и редких) случаях дос- тигать даже ±0,2. Поэтому реально при вычислении коэффициента корреляции на годовом интервале есть смысл удерживать только одну значащую цифру по- сле запятой, а все остальное может быть связано со статистическими погрешностями. Если же коэффициент корреляции К(250) оказывается меньшим 10%, то о взаимосвязи исходных величин лучше не думать. (Нет смысла искать неслучайных вещей там, где доминирует случайность).
3. Корреляции индексов
С учетом приведенной выше оценки точности можно рассчитать коэффициенты корреляции потенциально наиболее значимых для индекса РТС величин. На приведенном рисунке изображены относительные изменения индекса РТС, американского индекса S&P 500, японского Nikkei225 и французского CAC40. Оказывается, что в последний год коэффициент кор- реляции индекса РТС с указанными индексами составлял отрицательную величину. (Значения К для РТС с указанными выше индексами приведены в подписях к кривым на рисунке). Отрицательной величина корреляции становится за счет длительных периодов разнонаправленных движений индексов. Так, индекс РТС в первой половине года снижался, в то время как индексы указанных стран показывали рост. Особенно сильно подрос индекс N225, что и дало высокий отрицательный коэффициент К. По- ложительным коэффициент корреляции (из приведенных кривых) оказался только для цен нефти марки Brent. Хотя коэффициент К с нефтью +0,6 оказывается не столь высоким, как это можно было бы предположить, с учетом зависимости нашей эко- номики от цен на это сырье.
Из приведенной Таблицы 1 попарных корреляций видим, что указанные активы распределяются на две группы. В одной располагаются индексы развитых стран, которые имеют между собой достаточно высокие положительные значения по- парной корреляции. Так, коэффициент корреляции индекса S&P 500 и индекса САС 40 очень высок и составляет +0,9. В то время как коэффициенты корреля- ции с индексами стран BRICS для них оказываются отрицательными.
В другую группу выделяются индексы стран BRICS. На совместном графике относительных изменений индексов хорошо видно их согласованное поведение. Коэффициент корреляции РТС с индексами Китая и Бразилии оказывается даже чуть большим, чем зави- симость индекса РТС от цен нефти. Это указывает на достаточно высокую связанность поведения индексов стран BRICS. Из приведенных на двух рисунках кривых и коэффи- циентов корреляции этих кривых с индексом РТС можно сделать предположение, что на годовом гори- зонте решение об инвестировании в фондовый рынок России, Бразилии и Китая набором основных инве- сторов, определявших динамику индексов, принимались по схожим соображениям. Аналогично, как и решения об инвестировании в рынки США, Японии и Франции.
4. Корреляции приращений цен
Важно обратить внимание еще на одну важную осо- бенность. Для спекулянта гораздо большее значение имеет не корреляция цен акций, но корреляция днев- ных изменений цен. А это совсем не одно и то же. На рисунке 9. представлены три модельных графика. Каждый из них представляет сумму длиннопериод- ной синусоиды (годовые изменения) с соответствующей добавкой. А вот добавка для трех графиков разная. Для графика А - это «недельная» синусоида с периодом в 5 дней. Для графика В и С – недельная синусоида имеет отрицательный знак, так что на графиках А она находится в противофазе с добавкой на графиках В и С. На графике С, кроме того, имеется случайная добавка. Амплитуды всех добавок выбраны равной пятой части амплитуды основного колебания. Попарные коэффициенты кор- реляции кривых, несмотря на добавки, близки к единице и равны КА-В=+0,92; КА-С=+0,9; КB-С= + 0,9.
А вот для «дневных приращений цены», приведенных на втором графике картина, совсем иная. Точки на кривых А, В, С на рис. 10 получены в результате вычисления разностей последовательных по времени значений на кривых рис.9: Арис.10=Арис.9(t)-A рис.9(t-?t). Как видим, дневные приращения цен гораздо меньше зависят от годовых трендов, но в большей мере опре- деляются короткими колебаниями, имеющими период в несколько дней. Для указанных разностных кривых (рис.10) коэффициенты корреляции имеют совсем другие значения КА-В= -1,0; КА-С= -0,7; КB-С= + 0,7. Коэффициенты корреляции вычислены по вы- боркам в 250 пар. (С учетом предыдущего пункта ограничиваемся одним знаком после запятой для кривых содержащих случайную компоненту).
Аналогично можно поступить с использовавшимися выше индексами и обра- зовать из них наборы дневных приращений. Для полученных рядов относительных приращений были рассчитаны значения коэффициентов кор- реляции. Как видим из приведенной ниже таблицы 2, значения коэффициентов корреляции принципиально отличаются от соответствующих величин, приведенных в таблице 1.
Главное отличие состоит в большей устойчивости таких коэффициентов. Кроме того, корреляции приращений в основном оказываются положитель- ными. Исключением оказалось отрицательная величина корреляции приращений цены нефти и приращений японского индекса Nikkei 225. Однако абсолютные значения коэффициентов корреляции для приращений оказыва- ются, как правило, заметно меньшими, чем для самих величин и, в большинстве случаев, лишь немногим превышают возможные значения для наборов чисто случайных величин.
Степень устойчивости коэффициента корреляции можно продемонстрировать на их временных зави- симостях. Как уже упоминалось, коэффициент корреляции зависит от времени. Так, для двух наибо- лее ликвидных бумаг российского рынка, цен акций Сбербанка и Газпрома коэффициент корреляции (вычисленный по предыдущим 250 дням - пример- ный годовой интервал) сильно изменяется со временем. Например, в конце 2008 года коэффициент корреляции приближался к +1. Значит, в 2008 году в динамике цен акций преобладала согласованная ком- понента. Однако были периоды, когда коэффициент корреля- ции опускался в отрицательную область. Значит, в течение года, предшествовавшего таким провалам, значений корреляции, цены акций Газпрома и Сбер- банка изменялись в большей мере разнонаправленно. Такого рода разнонаправленность является довольно частым явлением на нашем рынке. Так часто проти- вофазное рынку движение показывали акции Сургутнефтегаза, Норильского Никеля или некото- рые другие акции. Это происходило либо по специфическим корпоративным причинам, либо, когда инвесторы на рынке выбирали какие-либо ак- ции в качестве защитного актива. А вот краткосрочные изменения цен акций, пусть даже в среднем, не являются столь высоко согласо- ванными, но зато демонстрируют большую устойчивость коэффициента корреляции в разные периоды времени. Такое отличие можно увидеть, сопоставляя поведение корреляции как самих цен акций Сбербанка и Газпрома (рис. 12), так и их изме- нений (рис.13). Рис.14 Стоит отметить, что даже для периодов высокой корреляции «зависимость» приращений цен одних акций от приращения цен других акций выглядит совсем не как динамическая кривая. Тем не менее, при больших К с достаточно большой вероятностью будет работать линейная регрессионная зависимость. В результате, можно, например, по приращению цен акций Газпрома оценить приращение акций Сбербан- ка (и наоборот). Однако беда такой зависимости состоит в том, что приращения цен указанных акций происходят за один временной интервал. И оценка вероятности приращения цены акций Сбербанка в определенный день возможна только при завершении этого же дня для акций Газпрома.
Определение коэффициентов корреляции между различными рядами данных позволяет быстро выявить наиболее простые зависимости и найти активы, ко- торые коррелируют с изучаемым. Так, по изменениям индексов зарубежных рынков или цен на товарные группы можно делать оценки вероятности теку- щих изменений индексов на нашем рынке. Но вот с самым главным – возможностью делать вероятностные прогнозы по уже произошедшим событиям все немного хуже. А ведь именно такого рода прогнозы имеют наибольшую ценность. Для этого нужно изучать корреляции сегодняшних приращений индекса с прошлыми приращениями индексов дру- гих рынков или приращениями цен товарных групп. Но по факту оказывается, что информация о прошлом довольно быстро девальвирует со временем. Из- вестная «максима» технического анализа «история цен содержат всю информацию о рынке», работает с большой натяжкой и при условии учета про- исходящих on-line событий. Реально прошлые цены определяют будущую динамику лишь в ограниченной мере. Для определения того, какое прошлое наиболее существенным образом влияет на настоящее, для начального анализа можно пытаться выстраивать корреля- цию текущих приращений с изменениями значений индексов, цен акций в предыдущие моменты времени. По факту оказывается, что уровни корреляции приращений из разных временных интервалов, как правило, имеют довольно низкие значения.
Это можно проиллюстрировать на примере автокорреля- ционной функции приращений индекса ММВБ. Корреляция берется для двух последовательных рядов дневных изменений индекса ММВБ. И если в качестве значений Xi берется дневное приращение индекса ММВБ за текущий день, то в качестве Yi выступают приращения индекса за предыдущий день. Из приведенного на рисунке 15 графика видим, что, во- первых, величина автокорреляции не сильно превышает значения коэффициента корреляции для пар чисто слу- чайных чисел. Во-вторых, К может изменять знак. И все же в длительные периоды знаковой определенно- сти коэффициента корреляции, с его использованием можно заработать на рынке деньги. Для этого, при поло- жительных К, достаточно покупать индекс под занавес торгов в дни, когда он закрывается с положительным приращением, и продавать в дни, когда индекс имеет отрицательное приращение. В результате, на периоде положительной определенности К можно получить ста- тистически значимое положительное приращение счета. В периоды отрицательного К, работоспособной будет контр трендовая к изменениям прошедшего дня методика.
В заключение отметим, что из рядов данных, имеющих наибольшую корреляцию с изучаемым активом, можно отобрать наборы, имеющие наибольшие по модулю ко- эффициенты корреляции. Тогда, (взвешивая, например, пропорционально величине К) можно строить синтетиче- ские активы, которые будут потенциально иметь более глубокую связь с интересующим нас активом, и иметь большее значение коэффициента корреляции. На рис. 16 приведены рассчитанные за предыдущий прошедший год коэффициенты корреляции приращений индекса РТС к приращениям индекса Bovespa, Shanghai Com., цен нефти марки Brent. Видим, что все три указанных коэффициен- та в течение последнего года изменялись в окрестности значений 0,3. Образовав гипотетический актив, изменения которого равны среднему значению изменений трех указанных величин, так же можно рассчитать коэффициент корре- ляции для дневных приращений полученного актива. Рассчитанные по тем же правилам значения коэффици- ента корреляции приращений индекса РТС и указанного синтетического актива приведены на рис. 16 жирной линией. Видим, что уровни корреляции вновь образован- ного актива оказались систематически большими, чем для входящих в него слагаемых. На таком пути можно образовывать другие активы добиваясь получения более высоких значений коэффициентов корреляции. Наиболее очевидное практическое значение имеет ком- бинирование таких синтетических активов из уже ушедших в историю рядов данных. Так, в пару к Xi - изменениям индекса РТС можно, например, составить актив Yi из трех величин: изменений цен нефти и индек- са Bovespa в предыдущий день и значения индекса Shanghai Сomp., но уже в текущий торговый день, кото- рый в Китае заканчивается намного раньше, чем закрываются торги в Москве. Как и в предыдущем слу- чае, коэффициент корреляции приращений индекса РТС с такой синтетической переменной оказывается выше попарных корреляций с каждой из этих величин по от- дельности. Тем самым коэффициент корреляции помогает найти более тесно связанную с изменениями индекса РТС переменную, значения которой появляются раньше по времени, чем время закрытия индекса РТС. Поступая аналогичным образом можно отбирать наборы таких переменных, выбирая из них наиболее связанную пару с интересующим активом.
(Нужно быть готовым к кропотливой работе по предварительной очистке данных, учету праздничных дней, торговле в выходные дни, как это проис- ходит по нефти марки Brent и т.д.). И еще: правильнее брать не среднее значение входящих величин, а их взвешенные значения по средней величине коэффициента корреляции. Лучше ввести изменяемые параметры, подбирая которые можно добиться лучших результатов. Однако оптимизацию лучше проводить уже не по величине коэффициента корреляции, а по потенциаль- ной прибыли, которую можно получить, используя ту или иную торговую методику. Можно уже на этапе подбора исходных данных использовать нейросети, когда оптимизирующая система на этапе обучения сама подбира- ет наиболее подходящие коэффициенты. Но все это уже скорей относится к созданию торговой системы. В данном же тексте продемонстрировано то, как можно использовать коэффициенты корреляции.
В предыдущей статье мы говорили, что ребалансировка активов контролирует риск портфеля, а при удачном стечении обстоятельств может дать дополнительный выигрыш по доходности. Но это работает только в том случае, если активы в портфеле ведут себя по разному в одних и тех же условиях. Как найти такие активы, и как оценить их поведение между собой, вы узнаете из этой статьи.
В портфель должны включаться слабо взаимосвязанные активы, цена которых ведет себя по разному в одинаковых условиях. Это снижает риск портфеля и создает портфельный эффект. Связь разных активов между собой можно оценить математически с помощью корреляции. Корреляция показывает в какой степени динамика стоимости одного актива соотносится с динамикой другого актива.
Корреляция может принимать значения от +1 (положительная) до -1 (отрицательная). Если цены активов движутся в одном направлении (оба растут или оба снижаются), корреляция положительна (больше 0), если цены активов движутся в противоположных направлениях (один растет, второй снижается), корреляция отрицательная (меньше 0). 
Корреляция равная +1 означает, что стоимость активов меняются идентично друг другу: если один актив вырос на 10%, второй тоже растет на 10%. Корреляция равная -1 означает, что цены движутся максимально противоположно. Нулевая корреляция означает, что взаимосвязи нет.
Из реальной жизни пример негативной корреляции можно найти в динамике курса доллара и цен на нефть в 2015-16 годах: когда нефть падала, курс доллара рос.
Положительная корреляция есть между ценами на нефть и натуральный газ: их цены двигаются схожим образом.
Влияние корреляции на риск портфеля
Поведение активов влияет на риск портфеля. Например, на картинке ниже изображены две акции, стоимость которых изменяется противоположно: когда одна растет, другая падает. Корреляция таких акций будет отрицательной. Если портфель будет состоять поровну их этих акций, то его стоимость будет изменяться гораздо плавнее по сравнению с каждой акцией в отдельности, то есть риск портфеля будет ниже, чем риск составляющих его акций. Это конечно идеализированная модель, но она наглядно показывает, как отрицательная корреляция активов снижает риск портфеля.
Теперь посмотрим, как корреляция может влиять на риск и доходность портфеля. На графике ниже изображена так называемая граница эффективности портфеля, состоящего из двух активов — А и В. Вертикальная ось — доходность портфеля, горизонтальная ось — стандартное отклонение доходности. Каждая линия представляет собой портфель с разной степенью корреляции активов (-0.5, 0.0, +0.5 и +1.0). Каждая точка на линии — это разные пропорции активов в портфеле, начиная от 100% А, далее 90% А:10% В и так далее до 100% В.
Источник: Richard Ferri, Portfolio Solutions
Нетрудно заметить, что портфели активов с отрицательной корреляцией -0,5 находятся в левой части диаграммы и имеют самое низкое стандартное отклонение доходности, то есть самый низкий риск среди всех рассматриваемых портфелей. А портфели активов с высокой корреляцией имеют самый высокий риск. Таким образом при прочих равных риск портфеля снижается когда активы имеют низкую корреляцию.
Корреляция активов
К сожалению, в реальной жизни довольно трудно найти два актива с абсолютно нулевой или отрицательной корреляцией. Большинство активов имеют корреляцию где-то между 0 и+1. В таблице 1 представлена матрица корреляции между разными классами активов с 1970 по 2004 год. Чем холоднее цвет, тем ниже корреляция. Можно заметить, что холодные цвета присутствуют в основном у облигаций, кэша и ресурсов. Эти классы активов хуже всего коррелируют с акциями различной капитализации и недвижимостью. Однако даже среди них редко встречаются отрицательные значения.
Источник: Journal of financial planning
Если взять реальный пример, то корреляция между американскими акциями и долгосрочными государственными облигациями на сроке 1972-2015 составила 0,01, то есть фактически отсутствовала. Граница эффективности портфеля, состоящего их этих двух классов активов очень похожа на линию на графике выше, которая соответствует портфелю из некоррелируемых активов.
Низкая корреляция между активами создает портфельный эффект — когда по характеристикам риск и доходность портфеля может быть лучше активов, из которых он состоит. Логично было бы ожидать, что самый низкий риск будет иметь портфель, состоящий полностью из облигаций. Но в реальности самым низким риском обладает портфель, доля облигаций в котором 80%, а на акции приходится 20%. Добавление акций не только уменьшило риск портфеля, но и увеличило его доходность на 0,6%. Другой портфель 60:40 показал такой же риск, как и 100% облигаций, но его доходность при этом была почти на 1,5% больше.
Корреляция непостоянна
Ричард Ферри в своей статье в журнале Forbes обратил внимание, что, к сожалению, теория, которая красиво выглядит на длительном сроке, не всегда хорошо работает на коротких периодах. Например, с 1926 по 2013 год корреляция между акциями США и 5-летними казначейскими облигациями была равна 0,07. Это очень низкая корреляция для двух классов активов, значит эти два класса активов в портфеле должны хорошо работать вместе.
К сожалению, долговременная корреляция не отражает то, что происходит в течение коротких периодов. На графике ниже показано, как сильно может меняться корреляция на коротком сроке. На рисунке изображена 5-ти летняя скользящая корреляция между американскими акциями и 5-летними облигациями, рассчитанная на отрезке 1926-2013.
