Установлено, что число отличных от нуля канонических коэффициентов квадратичной формы равно ее рангу и не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого форма A (x , x ) приводится к каноническому виду. На самом деле не меняется и число положительных и отрицательных коэффициентов.
Теорема 11.3 (закон инерции квадратичных форм) . Число положительных и отрицательных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к нормальному виду.
Пусть квадратичная форма f ранга r от n неизвестных x 1 , x 2 , …, x n двумя способами приведена к нормальному виду, то есть
f
= + 
+ … + 
– 
– … – 
,
f
= 
+ 
+ … + 
– 
– … – 
.
Можно доказать, что k
= l
.
Определение 11.14. Число положительных квадратов в нормальной форме, к которой приводится действительная квадратичная форма, называется положительным индексом инерции этой формы; число отрицательных квадратов – отрицательным индексом инерции , а их сумма – индексом инерции квадратичной формы или сигнатурой формы f .
Если p – положительный индекс инерции; q – отрицательный индекс инерции; k = r = p + q – индекс инерции.
Классификация квадратичных форм
Пусть у квадратичной формы A (x , x ) индекс инерции равен k , положительный индекс инерции равен p , отрицательный индекс инерции равен q , тогда k = p + q .
Было
доказано, что в любом каноническом
базисе f
= {f
1 ,
f
2 ,
…, f
n
}
эта квадратичная форма A
(x
,
x
)
может быть приведена к нормальному виду
A
(x
,
x
) = 
+ 
+ … + 
– 
– … – 
,
где
1 ,
2 ,
…,
n
координаты
вектора x
в базисе {f
}.
Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы
Утверждение 11.1. A (x , x ), заданная в n V , была знакоопределенной , необходимо и достаточно, чтобы либо положительный индекс инерции p , либо отрицательный индекс инерции q , был равен размерности n пространства V .
При этом если p = n , то форма положительно x ≠ 0 A (x , x ) > 0).
Если же q = n , то форма отрицательно определена (то есть для любого x ≠ 0 A (x , x ) < 0).
Необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы
Утверждение 11.2. Для того чтобы квадратичная форма A (x , x ), заданная в n -мерном векторном пространстве V , была знакопеременной (то есть существуют такие x , y что A (x , x ) > 0 и A (y , y ) < 0) необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.
Необходимое и достаточное условие квазизнакопеременности квадратичной формы
Утверждение 11.3. Для того чтобы квадратичная форма A (x , x ), заданная в n -мерном векторном пространстве V , была квазизнакопеременной (то есть для любого вектора x или A (x , x ) ≥ 0 или A (x , x ) ≤ 0 и найдется такой ненулевой вектор x , что A (x , x ) = 0) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из двух соотношений: p < n , q = 0 или p = 0, q < n .
Замечание . Для того чтобы применять эти признаки, квадратичную форму надо привести к каноническому виду. В критерии знакоопределенности Сильвестра 15 этого не требуется.
Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: [email protected]Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии Закон инерции квадратичных форм
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
§ 4. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм
1. Закон инерции квадратичных форм. Мы уже отмечали (см.
замечание 2 п. 1 предыдущего параграфа), что ранг квадратичной формы равен числу
отличных от нуля канонических коэффициентов. Таким образом, число отличных от
нуля канонических коэффициентов не зависит от выбора невырожденного
преобразования, с помощью которого форма А(х, х) приводится к каноническому
виду. На самом деле при любом способе приведения формы А(х, х) к каноническому
виду не меняется число положительных и отрицательных канонических коэффициентов.
Это свойство называется законом инерции квадратичных форм.
Прежде чем перейти к обоснованию закона инерции, сделаем некоторые замечания.
Пусть форма А(х, х) в базисе е = (е 1 , е 2 ,..., е n
)
определяется матрицей А(е) = (а ij
):
где ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n - координаты вектора х в базисе е. Допустим, что эта форма с помощью невырожденного преобразования координат приведена к каноническому виду
причем λ 1 , λ 2 ,..., λ k - отличные от нуля канонические коэффициенты, занумерованные так, что первые q из этих коэффициентов положительные, а следующие коэффициенты - отрицательные:
λ 1 > 0, λ 2 > 0, ..., λ q > 0, λ q+1 < 0, ..., λ k <0.
Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат μ i (легко видеть, что определитель этого преобразования отличен от нуля) :
В результате этого преобразования форма А(х, х) примет вид
называемый нормальным видом квадратичной формы.
Итак, с помощью некоторого невырожденного преобразования координат
ξ 1 ,
ξ
2 ,
..., ξ
n вектора х в базисе е = (е 1 ,
е 2 ,..., е n
)
(это преобразование представляет собой произведение
преобразований ξ в μ и μ в η
пo формулам (7.30))
квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду (7.31).
Докажем следующее утверждение.
Теорема 7.5 (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными
(отрицательными) коэффициентами в нормальном виде квадратичной формы не зависит
от способа приведения формы к этому виду.
Доказательство. Пусть форма А(х, х) с помощью невырожденного преобразования
координат (7.32) приведена к нормальному виду (7.31) и с помощью другого
невырожденного преобразования координат приведена к нормальному виду
Очевидно, для доказательства теоремы достаточно убедиться в
справедливости равенства р = q.
Пусть р > q. Убедимся, что в этом случае имеется ненулевой вектор х такой, что
по отношению к базисам, в которых форма А(х, х) имеет вид (7.31) и (7.33),
координаты η 1 ,
η
2 ,
..., η
q и ζ р+1 ,
..., ζ n
этого вектора равны нулю:
η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η q = 0, ζ р+1 = 0, ..., ζ n = 0 (7.34)
Так как координаты η i
получены путем невырожденного преобразования (7.32) координат
ξ 1 ,
..., ξ
n ,
а координаты ζ i
- с помощью аналогичного невырожденного преобразования этих же координат
ξ 1 ,
..., ξ
n ,
то соотношения (7.34) можно рассматривать как систему линейных однородных
уравнений относительно координат ξ 1 ,
...,
ξ
n искомого вектора х в базисе е = (е 1 ,
е 2 ,..., е n
) (например, в
развернутом виде соотношение η
1 = 0
имеет, согласно (7.32), вид а 11 ξ 1 + а 12 ξ 2
+ а 1 n ξ n
= 0)-
Так как р > q, то число однородных уравнений (7.34) меньше n
,
и поэтому система (7.34) имеет ненулевое решение относительно координат
ξ 1 ,
..., ξ
n
искомого вектора х. Следовательно, если р > q, то существует ненулевой вектор х,
для которого выполняются соотношения (7.34).
Подсчитаем значение формы А(х, х) для этого вектора х. Обращаясь к соотношениям
(7.31) и (7.33), получим
Последнее равенство может иметь место лишь в случае
η q+1 = ... = η k =
0
и ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ р = 0
.
Таким образом, в некотором базисе все координаты ζ 1 ,
ζ 2 , ..., ζ n
ненулевого
вектора х равны нулю (см. последние равенства и соотношения (7.34)), т.е. вектор
х равен нулю. Следовательно, предположение р > q ведет к противоречию. По
аналогичным соображениям ведет к противоречию и предположение р < q.
Итак, р = q. Теорема доказана.
2. Классификация квадратичных форм. В п. 1 §2 этой главы (см. определение 2)
были введены понятия положительно определенной, отрицательно определенной,
знакопеременной и квазизнакоопределенной квадратичных форм.
В этом пункте с помощью понятий индекса инерции, положительного и отрицательного
индексов инерции квадрата формы мы укажем, каким образом можно выяснить
принадлежность квадратичной формы к тому или иному из перечисленных выше типов.
При этом индексом инерции квадратичной формы будем называть число отличных от
нуля канонических коэффициентов этой формы (т.е. ее ранг), положительным
индексом инерции - число положительных канонических коэффициентов, отрицательным
индексом инерции - число отрицательных канонических коэффициентов. Ясно, что
сумма положительного и отрицательного индексов инерции равна индексу инерции.
Итак, пусть индекс инерции, положительный и отрицательный индексы инерции
квадратичной формы А(х, х) соответственно равны k
, p и
q (k = p + q).B предыдущем пункте было доказано, что в любом каноническом базисе
f
= (f 1 , f 2 , ..., f n)
эта форма может быть приведена к следующему нормальному виду:
где η 1 ,
η
2 , ..., η
n
- координаты вектора х в базисе f
.
1°. Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы.
Справедливо следующее утверждение.
Для того чтобы квадратичная форма А(х, х), заданная в n
-мерном
линейном пространстве L, была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы
либо положительный индекс инерции р, либо отрицательный индекс инерции q был
равен размерности n
пространства L.
При этом, если р = n
, то форма положительно
определенная, если же q = n, то форма отрицательно определенная.
Доказательство. Так как случаи положительно определенной формы и отрицательно
определенной формы рассматриваются аналогично, то доказательство утверждения
проведем для положительно определенных форм.
1) Необходимость. Пусть форма А(х, х) положительно определена. Тогда выражение
(7.35) примет вид
А(х,х) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2 .
Если при этом р < n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0
форма А(х, х) обращается в нуль, а это противоречит
определению положительно определенной квадратичной формы. Следовательно, р =
n
.
2) Достаточность. Пусть р = n
. Тогда соотношение
(7.35) имеет вид А(х,х) = η 1 2 + η
2 2
+ ... + η
р 2 . Ясно, что
А(х, х) ≥
0, причем, если А = 0, то
η
1 = η
2
= ... = η n
= 0,
т. е. вектор х нулевой. Следовательно, А(х, х) - положительно определенная
форма.
Замечание. Для выяснения вопроса о знакоопределенности квадратичной формы с
помощью указанного признака мы должны привести эту форму к каноническому виду.
В следующем пункте мы докажем критерий Сильвестра знакоопределенности
квадратичной формы, с помощью которого можно выяснить вопрос о
знакоопределенности формы, заданной в любом базисе без приведения к
каноническому виду.
2°. Необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы.
Докажем следующее утверждение.
Для того чтобы квадратичная форма была знакопеременной, необходимо и достаточно,
чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были
отличны от нуля.
Доказательство. 1) Необходимость. Так как знакопеременная форма принимает как
положительные, так и отрицательные значения, то ее представление G.35) в
нормальном виде должно содержать как положительные, так и отрицательные
слагаемые (в противном случае эта форма принимала бы либо неотрицательные, либо
неположительные значения). Следовательно, как положительный, так и отрицательный
индексы инерции отличны от нуля.
2) Достаточность. Пусть р ≠ 0
и q
≠
0. Тогда для вектора x 1 , с координатами
η 1 ≠ 0, ..., η
р
≠
0, η р+1
= 0, ..., η n = 0
имеем А(х 1 x 1) > 0, а для вектора х 2 с
координатами η 1 = 0,
...,
η
р = 0, η р+1
≠ 0, ..., η n ≠ 0
имеем А(х 2 ,
х 2) < 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. Необходимое и достаточное условие квазизнакоопределенности квадратичной
формы. Справедливо следующее утверждение.
Для того чтобы форма А(х, х) была квазизнакоопределенной, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись соотношения: либо р < n
,
q = 0, либо р = 0, q < n
.
Доказательство. Мы рассмотрим случай положительно квазизнакоопределенной формы.
Случай отрицательно квазизнакоопределенной формы рассматривается аналогично.
1) Необходимость. Пусть форма А(х, х) положительно квазизнакоопределенная.
Тогда, очевидно, q = 0 и р < n
(если бы р =
n
, то форма была бы положительно определенной),
2) Достаточность. Если р < n
, q = 0, то А(х, х)
≥ 0
и для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η
2 = 0,
..., η
р = 0,
η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0
имеем А(х, х) = 0, т.е. А(х, х) - положительно квазизнакоопределенная форма.
3. Критерий Сильвестра (Джемс Джозеф Сильвестр (1814-1897) - английский
математик) знакоопределенности квадратичной формы. Пусть форма А(х, х) в базисе
е = (е 1 , е 2 ,..., е n
)
определяется матрицей А(е) = (а ij
):
и пусть Δ 1 = а 11 ,
- угловые миноры и определитель матрицы (а ij
).
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 7.6 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма А(х, х)
была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены
неравенства Δ 1
> 0,
Δ
2 > 0, ..., Δ
n
> 0.
Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и
достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем
Δ 1
< 0.
Доказательство. 1) Необходимость. Докажем сначала, что из условия
знакоопределенности квадратичной формы А(х, х) следует Δ i
≠ 0
, i
= 1, 2,..., n
.
Убедимся, что предположение Δ k
= 0 ведет к противоречию - при этом предположении существует ненулевой вектор х,
для которого А(х, х) = 0, что противоречит знакоопределенности формы.
Итак, пусть Δ k
= 0. Рассмотрим следующую квадратную однородную систему линейных уравнений:
Так как Δ k
- определитель этой системы и Δ k
= 0, то система имеет ненулевое решение ξ 1 ,
ξ
2 , ..., ξ
k
(не все ξ
i равны 0). Умножим первое из
уравнений (7.36) на ξ 1 ,
второе на
ξ 2 ,
..., последнее на
ξ
k и сложим полученные соотношения. В
результате получим равенство 
, левая часть которого
представляет собой значение квадратичной формы А(х, х) для ненулевого вектора х
с координатами (ξ 1 ,
ξ
2 , ..., ξ
k ,
0, ..., 0
). Это значение равно нулю, что противоречит знакоопределенности
формы.
Итак, мы убедились, что Δ i
≠
0, i
= 1, 2,...,
n
. Поэтому мы можем применить метод Якоби приведения
формы А(х, х) к сумме квадратов (см. теорему 7.4) и воспользоваться формулами
(7.27) для канонических коэффициентов λ i
.
Если А(х, х) - положительно определенная форма, то все канонические коэффициенты
положительны. Но тогда из соотношений (7.27) следует, что Δ 1
> 0, Δ
2 > 0, ..., Δ
n
> 0. Если же А(х, х) - отрицательно определенная форма, то все канонические
коэффициенты отрицательны. Но тогда из формул (7.27) следует, что знаки угловых
миноров чередуются, причем Δ 1
< 0.
2) Достаточность. Пусть выполнены условия, наложенные на угловые миноры
Δ i
в
формулировке теоремы. Так как Δ i
≠
0, i
= 1, 2,...,
n
, то форму А можно привести к сумме квадратов методом
Якоби (см. теорему 7.4), причем канонические коэффициенты λ i
могут быть найдены по формулам (7.27). Если Δ 1
> 0, Δ
2 > 0, ..., Δ
n
> 0, то из соотношений (7.27) следует, что все λ i
> 0, т. е. форма А(х, х) положительно определенная. Если же знаки
Δ i
чередуются и
Δ 1
< 0, то из соотношений (7.27) следует,
что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.
Над полем K {\displaystyle K} и e 1 , e 2 , … , e n {\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}} - базис в L {\displaystyle L} .
- Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
- Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.
Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения .
Канонический вид
Вещественный случай
В случае, когда K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид (нормальный вид):
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − ⋯ − x p + q 2 , 0 ≤ p , q ≤ r , p + q = r , (∗) {\displaystyle Q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{p+q}^{2},\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*)}где
r
{\displaystyle r}
- ранг квадратичной формы. В случае невырожденной квадратичной формы
p
+
q
=
n
{\displaystyle p+q=n}
, а в случае вырожденной -
p
+
q
<
n
{\displaystyle p+q
Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используются метод Лагранжа или ортогональные преобразования базиса, причем привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.
Число q {\displaystyle q} (отрицательных членов) называется индексом инерции данной квадратичной формы, а число p − q {\displaystyle p-q} (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется сигнатурой квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару (p , q) {\displaystyle (p,q)} . Числа p , q , p − q {\displaystyle p,q,p-q} являются инвариантами квадратичной формы, т.е. не зависят от способа её приведения к каноническому виду (закон инерции Сильвестра ).
Комплексный случай
В случае, когда K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x r 2 , (∗ ∗) {\displaystyle Q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2},\qquad (**)}где r {\displaystyle r} - ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один единственный инвариант - ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).
Итак, согласно теореме о приведении квадратичной формы, для любой квдратичной формы \(A(x,x)\) существует канонический базис \(\{f_1, \, f_2, ..., f_n\}\), так что для любого вектора \(x\), \[ x=\sum _{k=1}^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _{k=1}^n \lambda _k\eta _k^2. \] Так как \(A(x,x)\) вещественно-значна, и наши замены базиса также включают только вещественные числа, приходим к выводу, что числа \(\lambda _k\) вещественны. Среди этих чисел есть положительные, отрицательные и равные нулю.
Определение. Число \(n_+\) положительных чисел \(\lambda _k\) называется положительным индексом квадратичной формы \(A(x,x)\) , число \(n_-\) отрицательных чисел \(\lambda _k\) называется отрицательным индексом квадратичной формы , число \((n_++n_-)\) называется рангом квадратичной формы . Если \(n_+=n\), квадратичная форма называется положительной .
Вообще говоря, приведение квадратичной формы к диагональному виду реализуется не единственным образом. Возникает вопрос: зависят ли числа \(n_+\), \(n_-\) от выбора базиса, в котором квдратичная форма диагональна?
Теорема (Закон инерции квадратичных форм). Положительный и отрицательный индексы квадратичной формы не зависят от способа приведения ее к каноническому виду.
Пусть имеется два канонических базиса, \(\{f\}\), \(\{g\}\), так что любой вектор \(x\) представляется в виде: \[ x=\sum_{k=1}^n\eta _kf_k=\sum _{m=1}^n\zeta _mg_m, \] причем \[ A(x,x)=\sum_{k=1}^n\lambda _k\eta _k^2=\sum _{m=1}^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Пусть среди \(\lambda _k\) первые \(p\) положительны, остальные либо отрицательны, либо нули, среди \(\mu_m\) первые \(s\) положительны, остальные либо отрицательны, либо нулевые. Нам необходимо доказать, что \(p=s\). Перепишем (71): \[ \sum_{k=1}^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _{m=s+1}^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_{k=p+1}^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _{m=1}^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] так что все слагаемые в обеих частях равенства неотрицательны. Предположим, что \(p\) и \(s\) не равны, например, \(p
Мы доказали, что совпадают положительные индексы. Аналогично можно доказать, что совпадают и отрицательные индексы. ч.т.д.
1. Преобразовать к сумме квадратов квадратичные формы:
а) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);