Установено е, че броят на ненулевите канонични коефициенти на квадратична форма е равен на нейния ранг и не зависи от избора на неизродена трансформация, чрез която формата А(х, х) се свежда до канонична форма. Всъщност броят на положителните и отрицателните коефициенти също не се променя.
Теорема11.3 (закон за инерцията на квадратните форми). Броят на положителните и отрицателните коефициенти в нормалната форма на квадратна форма не зависи от това как квадратната форма се редуцира до нормална форма.
Нека квадратната форма еранг rот ннеизвестен х 1 , х 2 , …, х нсе свежда до нормална форма по два начина, т.е.
е = + 
+ … + 
– 
– … – 
,
е = 
+ 
+ … + 
– 
– … – 
. Може да се докаже, че к = л.
Определение 11.14.Извиква се броят на положителните квадрати в нормална форма, до които се намалява реалната квадратична форма положителен индекс на инерциятази форма; брой отрицателни квадрати - отрицателен индекс на инерция, а тяхната сума е индекс на инерцияквадратна или подписформи е.
Ако стре положителен индекс на инерция; q– отрицателен индекс на инерция; к = r = стр + qе индексът на инерцията.
Класификация на квадратните форми
Нека квадратната форма А(х, х) индексът на инерция е к, положителният индекс на инерция е p , отрицателният индекс на инерция е q, тогава к = стр + q.
Доказано е, че във всяка канонична основа е = {е 1 ,
е 2 ,
…, е н) тази квадратна форма А(х,
х) може да се сведе до нормална форма А(х,
х) = 
+ 
+ … + 
– 
– … – 
, където
1 ,
2 ,
…,
н
векторни координати хв база ( е}.
Необходимо и достатъчно условие квадратична форма да бъде знакоопределена
Изявление11.1. А(х, х) посочено в н V, беше знак-определен, необходимо и достатъчно е или положителен индекс на инерция стр, или отрицателен индекс на инерция q, беше равно на измерението нпространство V.
В същото време, ако стр = н, след това формата положително х ≠ 0 А(х, х) > 0).
Ако q = н, след това формата отрицателендефиниран (тоест за всеки х ≠ 0 А(х, х) < 0).
Необходимо и достатъчно условие за промяна на знака на квадратна форма
Изявление 11.2.За да се получи квадратната форма А(х, х) посочено в н-мерно векторно пространство V, беше редуващи се(тоест има х, гКакво А(х, х) > 0 и А(г, г) < 0) необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.
Необходимо и достатъчно условие за квазипроменящи се квадратични форми
Изявление 11.3.За да се получи квадратната форма А(х, х) посочено в н-мерно векторно пространство V, беше квазизнак(тоест за всеки вектор хили А(х, х) ≥ 0 или А(х, х) ≤ 0 и има такъв ненулев вектор х, Какво А(х, х) = 0) е необходимо и достатъчно, за да има едно от двете отношения: стр < н, q= 0 или стр = 0, q < н.
Коментирайте. За да се приложат тези характеристики, квадратичната форма трябва да бъде сведена до каноничната форма. В критерия 15 за определеност на знака на Силвестър това не се изисква.
Индивидуални онлайн уроци: Изпратете вашата заявка сега: [защитен с имейл]Математика (USE, OGE), английски (разговорен, граматика, TOEFL)
Разрешаване на проблем: по математика, ИТ, икономика, психологияЗакон за инерцията на квадратните форми
Преносими Windows приложения на Bodrenko.com
§ 4. Закон за инерцията на квадратните форми. Класификация на квадратните форми
1. Законът за инерцията на квадратните форми. Вече отбелязахме (виж забележка 2, т. 1 от предишния раздел), че рангът на квадратична форма е равен на броя на ненулевите канонични коефициенти. По този начин броят на ненулевите канонични коефициенти не зависи от избора на неизродена трансформация, чрез която формата A(x, x) се редуцира до канонична форма. Всъщност всеки начин за редуциране на формата A(x, x) до канонична форма не променя броя на положителните и отрицателните канонични коефициенти. Това свойство се нарича закон за инерцията на квадратичните форми.
Преди да пристъпим към обосновката на закона за инерцията, нека направим някои забележки.
Нека формата A(x, x) в базиса e = (e 1 , e 2 ,..., e n ) се определя от матрицата A(e) = (a ij ):
където ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n са координатите на вектора x в базата e. Да приемем, че тази форма е сведена до каноничната форма с помощта на недегенерирана координатна трансформация
където λ 1 , λ 2 ,..., λ кса ненулеви канонични коефициенти, номерирани така, че първите q от тези коефициенти са положителни, а следните коефициенти са отрицателни:
λ 1 > 0, λ 2 > 0, ..., λ q> 0, λq+1< 0, ..., λ k <0.
Помислете за следната недегенерирана координатна трансформация μ i (лесно е да се види, че детерминантата на тази трансформация е различна от нула):
В резултат на тази трансформация формата A(x, x) ще приеме формата
наречена нормална форма на квадратната форма.
И така, с помощта на някаква недегенерирана координатна трансформация ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n на вектора x в основата e = (e 1 , e 2 ,..., e n )
(тази трансформация е продукт на трансформациите на ξ в μ и μ в η по формули (7.30)) квадратичната форма може да се сведе до нормалната форма (7.31).
Нека докажем следното твърдение.
Теорема 7.5 (закон за инерцията на квадратни форми). Броят на членовете с положителни (отрицателни) коефициенти в нормалната форма на квадратна форма не зависи от това как формата се свежда до тази форма.
Доказателство. Нека формата A(x, x) се редуцира до нормалната форма (7.31) с помощта на недегенерирана координатна трансформация (7.32) и с помощта на друга недегенерирана координатна трансформация се редуцира до нормалната форма
Очевидно, за да се докаже теоремата, е достатъчно да се провери валидността на равенството p = q.
Нека p > q. Нека проверим, че в този случай има ненулев вектор x такъв, че по отношение на базисите, в които формата A(x, x) има формата (7.31) и (7.33), координатите η 1 , η 2 , ..., η q и ζ p+1 , ..., ζ нна този вектор са равни на нула:
η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η q = 0, ζ p+1 = 0, ..., ζ n = 0 (7.34)
Тъй като координатите η иполучено чрез недегенерирана трансформация (7.32) на координатите ξ 1 , ..., ξ n и координатите ζ и- с помощта на подобно неизродено преобразуване на същите координати ξ 1 , ..., ξ n , тогава отношенията (7.34) могат да се разглеждат като система от линейни хомогенни уравнения по отношение на координатите ξ 1 , .. ., ξ n на желания вектор x в основата e = ( e 1 , e 2 ,..., e n ) (например в разширен вид отношението η 1 = 0 има, съгласно (7.32), образуват 11 ξ 1 + a 12 ξ 2 + a 1 n ξ n\u003d 0)- Тъй като р> q, тогава броят на хомогенните уравнения (7.34) е по-малък от n и следователно системата (7.34) има ненулево решение по отношение на координатите ξ 1, ..., ξ n на желания вектор x. Следователно, ако p > q, тогава съществува ненулев вектор x, за който са валидни отношенията (7.34).
Изчислете стойността на формата A(x, x) за този вектор x. Обръщайки се към съотношенията (7.31) и (7.33), получаваме
Последното равенство може да се осъществи само в случай η q+1 = ... = η k = 0 и ζ 1 = ζ 2 = ... = ζ р = 0.
Така в някаква основа всички координати ζ 1 , ζ 2 , ..., ζ нненулев вектор x са равни на нула (виж последните равенства и отношения (7.34)), т.е. векторът x е нула. Следователно, допускането p > q води до противоречие. По аналогични съображения допускането p< q.
Така че p = q. Теоремата е доказана.
2. Класификация на квадратичните форми. В Раздел 1, Раздел 2 на тази глава (вижте Дефиниция 2) бяха въведени понятията за положително определени, отрицателно определени, знак-променливи и квази-знакоопределени квадратични форми.
В този подраздел, използвайки понятията за индекс на инерция, положителни и отрицателни индекси на инерция на квадрата на форма, ние посочваме как е възможно да разберем дали квадратната форма принадлежи към един или друг от изброените по-горе типове. В този случай индексът на инерция на квадратна форма е броят на ненулевите канонични коефициенти на тази форма (т.е. нейният ранг), положителният индекс на инерцията е броят на положителните канонични коефициенти, а отрицателният индекс на инерцията е броят на отрицателните канонични коефициенти. Ясно е, че сборът от положителния и отрицателния индекс на инерция е равен на индекса на инерция.
И така, нека индексът на инерцията е положителен и отрицателни индексиинерцията на квадратната форма A(x, x) е съответно k, p и q (k = p + q).В предишния параграф беше доказано, че във всяка канонична база f = (f 1 , f 2 , . .., f n) тази форма може да бъде сведена до следната нормална форма:
където η 1 , η 2 , ..., η n са координатите на вектора x в основата f .
1°. Необходимо и достатъчно условие за определеността на знака на квадратна форма. Следното твърдение е вярно.
За да бъде квадратичната форма A(x, x), дадена в n-мерното линейно пространство L, да бъде определена по знак, е необходимо и достатъчно или положителният индекс на инерцията p, или отрицателният индекс на инерцията q равно на размерността n на пространството L.
Освен това, ако p = n, тогава формата е положително определена, но ако q \u003d n, тогава формата е отрицателно определена.
Доказателство. Тъй като случаите на положително-определена форма и отрицателно-определена форма се третират по подобен начин, ще докажем твърдението за положително-определените форми.
1) Необходимост. Нека формата A(x, x) е положително определена. Тогава изразът (7.35) приема формата
A (x, x) \u003d η 1 2 + η 2 2 + ... + η p 2.
Ако в същото време r< n , то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η 2 = 0, ..., η p \u003d 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0
формата A(x, x) изчезва и това противоречи на определението за положително определена квадратична форма. Следователно p = n.
2) Достатъчност. Нека p = n. Тогава съотношението (7.35) има вида А(х,х) = η 1 2 + η 2 2 + ... + η р 2 . Ясно е, че A(x, x) ≥ 0, освен това, ако A = 0, тогава η 1 = η 2 = ... = η н= 0, т.е. векторът x е нула. Следователно A(x, x) е положително определена форма.
Коментирайте. За да изясним въпроса за знакоопределеността на квадратична форма с помощта на посочения критерий, трябва да сведем тази форма до канонична форма.
В следващия подраздел доказваме критерия на Силвестър за знакоопределеността на квадратна форма, с помощта на който може да се изясни въпросът за определеността на знака на форма, дадена във всяка основа, без да се свежда до канонична форма.
2°. Необходимо и достатъчно условие за промяна на знака на квадратна форма. Нека докажем следното твърдение.
За да бъде квадратната форма с алтернативен знак, е необходимо и достатъчно положителните и отрицателните индекси на инерция на тази форма да са различни от нула.
Доказателство. 1) Необходимост. Тъй като променливата форма приема както положителни, така и отрицателни стойности, нейното G.35) представяне в нормална форма трябва да съдържа както положителни, така и отрицателни термини (в противен случай тази форма би приела или неотрицателни, или неположителни стойности). Следователно, както положителните, така и отрицателните индекси на инерция са различни от нула.
2) Достатъчност. Нека p ≠ 0 и q ≠ 0. Тогава за вектора x 1 с координати η 1 ≠ 0, ..., η p ≠ 0, η р+1 = 0, ..., η n = 0имаме A(x 1 x 1) > 0, а за вектора x 2 с координати η 1 = 0, ..., η p = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0имаме A (x 2, x 2)< 0. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
3°. Необходимо и достатъчно условие за квадратична форма да бъде квазизнак. Следното твърдение е вярно.
За да може формата A(x, x) да бъде квазизнакоопределена, е необходимо и достатъчно да са налице следните отношения: или p< n
,
q = 0, либо р = 0, q < n
.
Доказателство. Разглеждаме случая на положителна квазиопределена форма. Случаят на отрицателна квазиопределена форма се разглежда по подобен начин.
1) Необходимост. Нека формата A(x, x) е положително квазизнакоопределена. Тогава, очевидно, q = 0 и p< n
(если бы р =
n
, то форма была бы положительно определенной),
2) Достатъчност. Ако п< n
, q = 0, то А(х, х)
≥ 0
и для ненулевого вектора х с координатами
η 1 = 0, η
2 = 0,
..., η
р = 0, η р+1 ≠ 0, ..., η n ≠ 0имаме A(x, x) = 0, т.е. A(x, x) е положителна квазизнакова определена форма.
3. Критерият на Силвестър (Джеймс Джоузеф Силвестър (1814-1897) – английски математик) за знакоопределеността на квадратна форма. Нека формата A(x, x) в базиса e = (e 1 , e 2 ,..., e n ) се определя от матрицата A(e) = (a ij ):
остави Δ 1 \u003d a 11, 
- ъглови минор и матричен детерминант (а ij ). Следното твърдение е вярно.
Теорема 7.6 (критерий на Силвестър). За да бъде квадратичната форма A(x, x) положително определена, е необходимо и достатъчно да са изпълнени неравенствата Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0.
За да бъде квадратната форма отрицателно определена, е необходимо и достатъчно знаците на ъгловите минори да се редуват с Δ 1< 0.
Доказателство. 1) Необходимост. Нека първо докажем, че от условието за определеност на знака на квадратната форма A(x, x) следва, че Δ i ≠ 0, i = 1, 2,..., n .
Нека се уверим, че предположението Δ к= 0 води до противоречие - при това предположение съществува ненулев вектор x, за който A(x, x) = 0, което противоречи на определеността на знака на формата.
Така че нека Δ к= 0. Да разгледаме следната квадратна хомогенна система от линейни уравнения:
Тъй като Δ ке детерминантата на тази система и Δ к= 0, то системата има ненулево решение ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k (не всички ξ i са равни на 0). Умножаваме първото от уравненията (7.36) по ξ 1 , второто по ξ 2 , ..., последното по ξ k и добавяме получените съотношения. В резултат получаваме равенството 
, чиято лява страна е стойността на квадратната форма A(x, x) за ненулев вектор x с координати (ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k , 0, ..., 0 ) . Тази стойност е равна на нула, което противоречи на знаковата определеност на формата.
И така, ние проверихме, че Δ и≠ 0, i = 1, 2,..., n . Следователно можем да приложим метода на Якоби за редуциране на формата A(x, x) до сума от квадрати (виж теорема 7.4) и да използваме формули (7.27) за каноничните коефициенти λ и. Ако A(x, x) е положително определена форма, тогава всички канонични коефициенти са положителни. Но тогава от съотношенията (7.27) следва, че Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0. Ако A(x, x) е отрицателно определена форма, тогава всички канонични коефициенти са отрицателни. Но тогава от формули (7.27) следва, че знаците на ъгловите минори се редуват, с Δ 1< 0.
2) Достатъчност. Нека условията, наложени на ъгловите минорни Δ ипри формулирането на теоремата. Тъй като Δ и≠ 0, i = 1, 2,..., n , то формата A може да бъде сведена до сумата от квадрати по метода на Якоби (виж теорема 7.4), а каноничните коефициенти λ иможе да се намери по формули (7.27). Ако Δ 1 > 0, Δ 2 > 0, ..., Δ n > 0, тогава отношенията (7.27) предполагат, че всички λ и> 0, т.е. формата A(x, x) е положително определена. Ако знаците Δ иредуване и Δ 1< 0, то из соотношений (7.27) следует,
что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана.
Над полето K (\displaystyle K)и e 1 , e 2 , … , e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\dots ,e_(n))- основа в L (\displaystyle L).
- Квадратната форма е положително определена, ако и само ако всички ъглови минори на нейната матрица са строго положителни.
- Квадратната форма е отрицателно определена, ако и само ако знаците на всички ъглови минори на нейната матрица се редуват, като минорът от порядък 1 е отрицателен.
Билинейна форма, която е полярна към положително определена квадратична форма, удовлетворява всички аксиоми на точковото произведение.
Каноничен изглед
реален случай
В случай, когато K = R (\displaystyle K=\mathbb (R) )(полето на реалните числа), за всяка квадратна форма има основа, в която нейната матрица е диагонална, а самата форма има каноничен възглед(нормален изглед):
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − ⋯ − x p + q 2 , 0 ≤ p , q ≤ r , p + q = r , (∗) (\displaystyle Q(x) =x_(1)^(2)+\cdots +x_(p)^(2)-x_(p+1)^(2)-\cdots -x_(p+q)^(2),\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*))където r (\displaystyle r)е рангът на квадратната форма. В случай на неизродена квадратна форма p + q = n (\displaystyle p+q=n), а в случай на дегенеративен - p+q<
n
{\displaystyle p+q
За да се сведе квадратична форма до канонична форма, обикновено се използва методът на Лагранж или ортогонални трансформации на основата, като дадена квадратична форма може да бъде сведена до канонична форма не по един, а по много начини.
номер q (\displaystyle q)(отрицателни термини) се нарича индекс на инерциядадена квадратна форма и числото p − q (\displaystyle p-q)(разликата между броя на положителните и отрицателните членове) се нарича подписквадратна форма. Имайте предвид, че понякога подписът на квадратична форма е двойка (p , q) (\displaystyle (p,q)). Числа p , q , p − q (\displaystyle p,q,p-q)са инварианти на квадратната форма, т.е. не зависят от метода на свеждането му до каноничната форма ( Законът за инерцията на Силвестър).
сложен случай
В случай, когато K = C (\displaystyle K=\mathbb (C) )(полето на комплексните числа), за всяка квадратна форма има основа, в която формата има канонична форма
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x r 2 , (∗ ∗) (\displaystyle Q(x)=x_(1)^(2)+\cdots +x_(r)^(2),\qquad ( **))където r (\displaystyle r)е рангът на квадратната форма. Така в сложния случай (за разлика от реалния) квадратната форма има един единствен инвариант - ранга, а всички неизродени форми имат една и съща канонична форма (сумата от квадрати).
И така, според теоремата за намаляване на квадратната форма, за всяка квадратна форма \(A(x,x)\) има канонична основа \(\(f_1, \, f_2, ..., f_n\)\), така че че за всеки вектор \(x\), \[ x=\sum _(k=1)^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _(k=1)^n \lambda _k \eta _k ^2. \] Тъй като \(A(x,x)\) е с реална стойност и нашите базисни промени също включват само реални числа, ние заключаваме, че числата \(\lambda _k\) са реални. Сред тези числа има положителни, отрицателни и равни на нула.
Определение. Извиква се номерът \(n_+\) на положителни числа \(\lambda _k\). положителен индекс на квадратната форма \(A(x,x)\) , броят \(n_-\) на отрицателните числа \(\lambda _k\) се нарича отрицателен индекс на квадратната форма , се извиква числото \((n_++n_-)\). рангът на квадратната форма . Ако \(n_+=n\), се извиква квадратната форма положителен .
Най-общо казано, редуцирането на квадратна форма до диагонална се осъществява по повече от един начин. Възниква въпросът: зависят ли числата \(n_+\), \(n_-\) от избора на основа, в която квадратната форма е диагонална?
Теорема (Закон за инерцията на квадратните форми). Положителните и отрицателните индекси на квадратична форма не зависят от това как тя може да бъде сведена до канонична форма.
Нека има две канонични бази, \(\(f\)\), \(\(g\)\), така че всеки вектор \(x\) може да бъде представен като: \[ x=\sum_(k= 1) ^n\eta _kf_k=\sum _(m=1)^n\zeta _mg_m, \] където \[ A(x,x)=\sum_(k=1)^n\lambda _k\eta _k^ 2= \sum _(m=1)^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Нека измежду \(\lambda _k\) първото \(p\) е положително, останалите или отрицателни, или нула, сред \(\mu_m\) първото \(s\) положително , останалите или отрицателни, или нула. Трябва да докажем, че \(p=s\). Пренапишете (71): \[ \sum_(k=1)^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _(m=s+1)^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_( k=p+1)^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _(m=1)^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \], така че всички членове в и двете части на равенството са неотрицателни. Да приемем, че \(p\) и \(s\) не са равни, например \(p
Доказахме, че положителните индекси съвпадат. По същия начин може да се докаже, че отрицателните индекси също съвпадат. h.t.d.
1. Преобразувайте квадратни форми в сумата от квадрати:
а) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);